Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Поняття числової послідовності

Числовою послідовністю або просто послідовністю називається множина чисел, які записані одне за одним за певним правилом.
Числа, які утворюють послідовність, називаються її членами.
Таким чином, послідовність може бути записана так: a1, a2,…,an,…
an називається спільним членом послідовності. Якщо в послідовності є останній член, то вона називається скінченою, в іншому випадку – нескінченною.
Cкінчена послідовність може бути задана перечисленням її членів. Щоб задати нескінечну послідовність a1, a2, …, an, …, потрібно задати правило, за яким будь-якому натуральному числу n відповідає деяке число an.
Послідовність a1, a2, …, an, … коротко позначається {an}.
Наступні множини чисел є послідовностями:
1,2,3,… n, …
1,
1,4,9,…, n2, …
Їх загальні члени відповідно: .
Якщо всі члени числової послідовності рівні між собою, то послідовність є сталою.
Послідовність {an} є спадною (зростаючою), якщо кожен наступний її член є не менший (не більший) за попередній, тобто якщо ak+1≥ak.
Зростаючі, спадні, не зростаючі, неспадні послідовності називають монотонними.

Арифметична прогресія

1. Арифметичною прогресією називається послідовність чисел, в якій кожне число, починаючи з другого дорівнює попередньому, збільшеному на однакове число. Це число називається різницею прогресії, а числа, які утворюють прогресію – члени прогресії.
Отже, якщо послідовність a1, a2, …, an, … є арифметичною прогресією, то за означенням:
, де k=1,2,3…, d – різниця прогресії.
Якщо d>0, то прогресія буде зростаючою, якщо d<0, то прогресія буде спадною.
Наприклад. Наступні послідовності являються арифметичними прогресіями:
2,4,6,8…;
-1, -3, … ;
3, 3, 3…
Їх різниці відповідно рівні
2,
-2,
0.
2. Будь-який член арифметичної прогресії виражається формулою .
3. Будь-який член арифметичної прогресії є середнім арифметичним попереднього і наступного членів.

4. В будь-якій арифметичній прогресії якщо m + n = p +q. Зокрема, якщо прогресія має скінчене число членів, то сума двох членів, рівновіддалених від її кінців, рівна сумі її крайніх членів.
5. Сума n перших членів арифметичної прогресії виражається формулами:



Приклад 1. Виписати перші 5 членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1=12, d=3.
Розв’язання.
а2= а1 +d=12+3=15.
а= а2 +d=15+3=18.
а= а4 +d=18+3=21.
а5= а4 +d=21+3=24.

Приклад 2. Знайти 11-й член арифметичної прогресії (аn), якщо а1=-3, d=0,7.
Розв’язання.
а11= а1 +10d=-3+10•0,7=-3+7=4.

Приклад 3. Знайти 17-й член арифметичної прогресії (аn), якщо арифметична прогресія має вигляд 3, 7, 11, 15, ….
Розв’язання.
d=7-3=4;
а17= а1 +16d=3+16•4=3+64=67.

Приклад 4. Послідовність (аn) - арифметична прогресія. Знайти а1 , якщо а36=26, d=0,7.
Розв’язання.
а36= а1 +35d
а1 = а36-35d=26-35•0,7=26-24,5=1,5.

Приклад 5. Різниця арифметичної прогресії дорівнює 3, а сума її шести перших членів дорівнює 57. Знайти а1 , а6.
Розв’язання.
d=3; S6=57

а6= а1 +5d=17.

Геометрична прогресія

1. Геометричною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це постійне число називається знаменником прогресії, а числа, які складають прогресію, називаються її членами.

Таким чином, якщо послідовність а1, а2, …, аn, … є геометричною прогресією, то аk+1kq, де k=1, 2, 3, … а q – знаменник прогресії.

Наприклад. Наступні послідовності є геометричними прогресіями:
2, 1, 1/2 … ;
2, -4,8, -16, …;
3, 3, 3, …;
1, 0, 0, …
Їх знаменники відповідно рівні: 1/2, -2, 1, 0.

2. Будь-який член геометричної прогресії виражається формулою
ak=a1 qk-1.

3. Будь-який член геометричної прогресії зв’язаний з попереднім і наступним членом за допомогою формули аk2k-1· аk+1.

4. У будь-який геометричній прогресії аman=apaq, якщо m+n=p+q.

5. Сума перших n членів геометричної прогресії (q≠0):


Приклад 1. В геометричній прогресії b1=5, q=2. Знайдіть b10.
Розв’язання. b10= b1q10-1, b10=5·29=2560.

Приклад 2. Знайдіть суму перших двадцяти членів геометричної прогресії 2,6,18,54,…
Розв’язання. Тут b1=2, q=3, тому
S20 ==320-1.
Відповідь. 320-1.

Нескінчено спадна геометрична прогресія

Нескінчено спадною геометричною прогресією називають таку геометричну прогресію, у якої знаменник |q|<1 і яка містить нескінчену кількість членів.
Сумою нескінчено спадної геометричної прогресії називається границя суми n перших її членів, коли n
S=
Приклад 1. Обчислити суму нескінченно спадної геометричної прогресії 1;
Розв’язання.
З умови задачі ясно, що b1=1,q=1/2. Тоді
S=

Деякі тотожності
Повернутись