Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Введення від’ємних чисел. Множина раціональних чисел
Історія математики ясно показує, наскільки важче далось людству третє розширення поняття про числа – введення від’ємних чисел, ніж перші два – введення нуля і дробів. Запроваджуючи нові «від’ємні» числа, ми називаємо всі відомі раніше цілі і дробові числа «додатними», крім нуля, який не належить ні до тих, ні до других, а є границею, що їх розділяє. Цілі і дробові додатні числа разом з цілими і дробовими від’ємними числами та нулем утворюють множину раціональних чисел.
Незалежно від способу введення від’ємних чисел, дуже важливо дати учням який-небудь певний наочний образ, до якого вони могли б звертатися як до джерела всіх висновків про їх властивості. Такий образ дає учневі незрівняно більше користі, ніж найкраща система означень, аксіом і теорем, що встановлюють ці властивості. Раніше за такий стандартний образ брали додатних і від’ємних чисел брали суму наявних грошей і борг, тепер частіше беруть множину точок числової осі, тобто прямої, на якій встановлено певний додатний напрям, певна початкова точка, певна одиниця масштабу. Вважаючи множину точок осі основним образом, корисно звертатись за ілюстраціями окремих випадків до інших тлумачень раціональних чисел. Наприклад, встановивши з допомогою числової осі, що -20 менше, ніж -5, ставимо питання про те, як порівняти майно двох людей, з яких один має тільки борг у 20 тисяч гривень, другий – тільки борг у 5 тисяч.

Додавання і віднімання раціональних чисел.

Уся трудність засвоєння дії додавання раціональних чисел зумовлена тим, що тут доводиться виходити з нового, узагальненого означення цієї дії, що включає в себе додавання натуральних чисел і додатних дробів як окремий випадок. Це нове означення суми формулюється по-різному залежно від того, яким способом вводяться від'ємні числа. Розглядаючи раціональні числа а і b як вирази зміни деякої величини, означаємо суму а + b як вираз обох цих змін, виконаних послідовно. Переконавшись, що для додатних чисел, наприклад 3 і 8, це означення дає звичайну суму 3 + 8 =11 (послідовне збільшення спочатку на 3, потім на 8 -рівноцінне одному збільшенню на 11), легко розбираємо різні окремі випадки, наприклад (+3) + (—8), (—3) + (+8), (—3) + + (— 8), і виводимо відповідні правила, а далі переконуємось, що основні властивості суми, встановлені при вивченні попередньої, теми для додатних чисел, зберігаються при такому розумінні суми і для всіх раціональних чисел. Звернення до числової осі багато сприяє ясності і міцності засвоєння: якщо а =+3 є збільшення відстані від початкової точки на 3 одиниці, тобто перехід, наприклад, від точки 10 у точку 13, а b = -8 є наступне зменшення цієї відстані на 8 одиниць, тобто перехід від точки 13 у точку 13 - 8 = 5, то сума а + b виражає перехід від точки 10 в точку 5, тобто зменшення на 10 - 5 = 5 одиниць або зміну -5; отже, (+3)+ (-8)= -5, і цей результат можна дістати швидше, діючи за встановленим правилом.
Дуже важливо, щоб діти добре засвоїли, що додавання раціонального числа зовсім не обов'язково приводить до суми, більшої від першого доданка. При переході від вужчої до ширшої числової множини частина властивостей зберігається, як наприклад, сполучна та переставна властивості суми, а частина втрачається. Оперуючи з натуральними числами, маємо завжди а + b > а. Введення нуля примушує писати вже а + b ≥ а, введення дробів (додатних) нічого в цій формулі не змінює. Але перехід до раціональних чисел робить можливими і випадки, коли а + b < а, і про порівняльну величину суми а + b і числа а вже нічого не можна сказати.
З принципового боку віднімання раціональних чисел простіше, ніж додавання, бо ця дія ґрунтується на попередньому означенні різниці: різниця двох даних чисел є число, яке треба додати до другого даного числа, щоб дістати перше. Проте розгляд на основі цього значення різних окремих випадків, необхідних для виведення правил, досить копітка робота, яку дуже спрощує використання теореми: різниця дорівнює сумі зменшуваного і числа, протилежного від'ємнику. Доведення цієї теореми зводиться до з’ясування того, що сума а + (-b), до якої додається b, дає а, а цього можна досягти відразу, якщо використати сполучну властивість суми: a+(-b)+b=а + [(b) + b] = а + 0 = а. Повний виклад вимагає доведення єдиності цієї різниці, але цю тонкість можна випустити.
Встановивши можливість заміни віднімання раціонального числа а додаванням протилежного числа -а, зазначаємо далі, що віднімання раціональних чисел завжди можливе. Необхідно показати, як ілюструється віднімання раціональних чисел на числовій осі (віднімання додатного числа рівноцінне додаванню від'ємного числа і відповідає на горизонтальній осі переходові ліворуч, віднімання від'ємного числа рівноцінне додаванню додатного числа і відповідає переходові праворуч) і на поняттях: наявні гроші — борг. Наочне уявлення операції віднімання числа дає, наприклад, розгляд такого випадку. У мене в гаманці 10 грн. грошей і записка, що нагадує про необхідність сплатити штраф у 3 грн., отже, після відрахування 3 грн. я маю в своєму розпорядженні 7 грн.; одержавши повідомлення, що штраф з мене знято, я знищую записку і маю в своєму розпорядженні вже 10 грн.; можливий запис всієї операції, як 7 — (—3) = 10.
Спільний розгляд дій додавання і віднімання раціональних чисел приводить до з'ясування властивостей алгебраїчної суми і до правил дій над многочленами

Множення і ділення раціональних чисел.
Множення і ділення будь-якого раціонального числа на додатне число, натуральне або дробове, не викликає ніяких утруднень для учнів: розглядаючи від'ємне число як особливого виду іменоване число і користуючись відомим з арифметики означенням добутку на натуральне число як суми рівних доданків і означенням добутку на дріб як дробу від множеного, а також старим означенням частки, легко виводимо, що, наприклад, (—6) • 3 = (— 6) + (—6) + (—6) = —18, (—6):3=—2, (—6) =(—6) :3•2 = —4, ілюструємо ці операції конкретними прикладами (наприклад, щоденне зменшення запасу палива на 6 м3 становить за 3 дні зменшення всього на 18 м3), встановлюємо правила множення і ділення будь-якого раціонального числа на додатне.
Але множення на від'ємне число вимагає принципово нового важливого кроку: введення нового означення добутку. Дійсно, означення добутку а на число b як суми b доданків, кожний з яких є а, нічого не дає, коли b є, наприклад, —3, а тому всі спроби довести такі рівності, як 4•(—3)= —12 або (—4)•(—3)= +12, виходячи з цього означення, приречені на невдачу. Нове означення добутку має задовольняти три вимоги: по-перше, будучи означенням добутку всяких двох раціональних чисел, воно повинно бути узагальненням старого означення, що має силу в тих випадках, коли множник — число додатне; по-друге, воно повинно зберігати основні властивості добутку — переставну, сполучну і розподільну відносно додавання; по-третє, усі задачі про напрямлені величини, які розв'язуються множенням у випадках, коли ці величини мають додатне значення, повинні розв’язуватись множенням і тоді, коли ці величини набувають від’ємного значення. Ці вимоги становлять зміст так званого «принципу перманентності» (сталості, незмінності) законів дій у застосуванні до множення.
Усі ці вимоги повністю задовольняє означення, сформульоване у вигляді такого правила: добуток двох множників дорівнює:
1) добуткові абсолютних величіні множників, якщо обидва множники додатні або обидва множники від’ємні,
2) добуткові абсолютних величин множників, взятому із знаком мінус, якщо один із множників додатний, а другий від’ємний,
3) нулеві, якщо хоча б один з множників дорівнює нулю.
Сформулювавши це правило як щось дане і загальноприйняте, займаються далі виведенням висновків з нього, показуючи, що всі вказані вимоги справді задоволені. Але тут завжди доводиться переборювати деякий психологічний опір учнів, які із здивуванням запитують, чому множення від'ємного числа на від'ємне приводить до додатного. Це здивування цілком зрозуміле: множення було для учнів було додаванням рівних доданків. Полегшити подолання цього утруднення (тільки полегшити, але аж ніяк не усунути!) може розгляд конкретних випадків множення напрямлених величин, як наприклад, у правій частині формули рівномірного руху s=vt, розбираючи всі можливі комбінації знаків і формулюючи далі загальне правило. Домогтися ясності в розумінні того, що означається і що доводиться, необхідно, але спочатку, як і завжди, треба забезпечити правильне розуміння суті операції в окремих конкретних випадках, що значно легше доходять до свідомості учнів, а деталі
загальних формулювань краще обробляти при підведенні підсумків роботи з даної теми і при повторенні.
Відмітимо коротку, але дуже повчальну довідку з історії від'ємних чисел. Виведення формули (а – b )•(с – d) = ас— bс — аd + bd для випадку а>b, c>d приводить. до правила Діофанта (від множення відніманого числа па додаване і додаваного на віднімане виходить віднімане, від множений відніманого на віднімане виходить додаване) і істотно допомагає засвоєнню сучасного правила знаків при множенні. Але грубою помилкою була б спроба довести це правило, припускаючи а = с = 0 і виводячи з цієї формули, що (—b)•(—d)= +bd, бо ця формула до ознайомлення з від'ємними числами доводиться тільки для випадку а >с, b>d на основі розподільності добутку відносно додавання і віднімання або з геометричних міркувань, зрозумілих з рисунка


Та обставина, що при кожному розширенні поняття числа доводиться переборювати труднощі, зв'язані з необхідністю узагальнення раніше введених означень, які частково втрачають силу при переході в нову числову область, труднощі, особливо великі для добутку, змушує шукати такі означення, які зберігали б силу, подібно до означень обернених дій, в усіх числових областях, що розглядаються в школі. Спробу такого загального означення добутку становить таке означення Лакроа: «Добуток утворюється з множеного так, як множник утворено з додатної одиниці». Коли додати до цього означення точну вказівку способу утворення множника з додатної одиниці, тобто вказівку на ту операцію, яку треба виконати над числом +1, щоб дістати множник, і яку треба повторити над множеним, щоб дістати в силу цього означення добуток, то це означення допоможе перебороти труднощі, зв'язані з множенням. Доки мова йде про натуральні числа, цією операцією є додавання: будь-яке натуральне число можна дістати додаванням одиниць; звідси звичайне означення добутку на натуральне число як суми рівних доданків. Будь-який дріб (додатний) можна дістати діленням одиниці на деяке число рівних частин і додаванням таких частин; звідси звичайне означення добутку на дріб як дробу від множеного. Будь-яке від'ємне раціональне число можна дістати з додатної одиниці зміною її знака, діленням її на належне число рівних частин і додаванням таких частин; звідси звичайне означення множення на від'ємне число.
Засвоївши так чи інакше множення двох раціональних чисел, учні легко роблять дальші кроки, що не становлять ніяких принципових труднощів, а саме: знайомляться з обчисленням добутків трьох і більше множників, з обчисленням степенів а2, а3, . а4, ..., з правилом ділення раціональних чисел. Ділення дається завжди значно легше, ніж множення, бо ґрунтується на старому добре відомому означенні: часткою від ділення а на b називається число, яке після множення на b дає а. Бажаючи знайти, наприклад, частку від ділення + 10 на — 2, переконуємось, що в силу цього означення нею є тільки число — 5. Дуже бажано не обмежуватись цим формальним розв'язанням питання, а постаратися набути і більш конкретних уявлень, розглядаючи окремі види напрямлених величин. Наприклад, якщо деяка величина, рівномірно зменшуючись, зменшилась за 3 дні на 12 одиниць, то за один день її зменшення становить 12 : 3 = 4 одиниці, і цю викладку повністю характеризує запис (— 12) : (+3)= — 4. Запис (—12) : (—4) = +3 дає відповідь на запитання: скільки днів дадуть зменшення на 12 одиниць, якщо кожний день дає зменшення на 4?
Розглядаючи множення і ділення раціональних чисел, треба окремо спинитись на діях з нулем: добуток тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли принаймні один із співмножників є нуль; частка від ділення нуля на довільне відмінне від нуля число є нуль, частка від ділення на нуль ніколи не розглядається.

Задачі на всі дії з раціональними числами.
Засвоївши правила дій над раціональними числами, учні повинні розв'язати багато задач-прикладів, щоб закріпити ці свої знання і набути міцних навичок. Можна рекомендувати вправи двох таких типів.
1. Дається в готовому вигляді, без виведення, яка-небудь алгебраїчна тотожність, наприклад (а3— 6а2 + 12а — 8) : (а2 — 4а+ 4) = а — 2, з відповідною вказівкою про допустимі значення букв, у даному випадку із вказівкою, що а може набувати будь-якого значення, крім + 2, і пропонується перевірити її для ряду довільних раціональних значень букв. Відмічається, наскільки простіше обчислення значення правої частини порівняно з лівою, і вказується на одержання подібних простіших і зручніших для обчислення виразів (з даних складніших виразів) як на одну з важливих задач курсу алгебри.
2. Дається вираз якої-небудь нескладної функції у (раціональної, одного аргументу х), пропонується знайти її значення при деяких точно вказаних значеннях аргументу і відмітити відповідні точки з координатами х, у на графіку в прямокутних координатах.
Вводити відповідну термінологію немає ніякої потреби, але необхідно користуватись папером в клітку (звичайним із зошита або, краще, міліметровим). Робляться (у вигляді здогадів, які перевіряються дальшими обчисленнями) висновки про те, по якій лінії
розміщуються ці точки. Наприклад, взявши функцію у = 10 — 3х беремо х = 0, + 1, — 1, + 2, — 2, + 3, — 3, + 4, — 4 і т. д. Помічаючи, що всі точки графіка розміщуються на одній прямій, висловлюємо догадку про те, як розмістяться точки, що відповідають проміжним значенням х, наприклад, +0,5, —0,5 («інтерполяція»), і відповідним обчисленням переконуємося в правильності цієї догадки.

Добування квадратного кореня. Таблиці квадратів і квадратних коренів.
Після введення від'ємних чисел новим розширенням поняття числа є введення ірраціональних чисел і перехід від множини раціональних чисел до множини дійсних чисел. Поняття квадратного кореня як з раціонального числа, що являє собою точний квадрат, коли цей корінь виражається точно, так і з будь-якого раціонального додатного числа, коли доводиться обмежуватись деякою наперед вказаною точністю, дається учням без утруднень і міцно засвоюється, якщо мати на увазі його геометричну суть, як довжини сторони квадрата з даною площею. Випускники школи володіють і звичайним способом добування квадратного кореня з багатоцифрового числа, але застосовують його тільки механічно, не усвідомлюючи того, чому треба робити так, а не інакше, і через це іноді допускають грубі помилки. Наприклад, бажаючи добути квадратний корінь з числа 123,8, багато хто розбиває його на грані від останньої цифри, а не від коми, і дістає замість правильної відповіді 11,12 грубо помилкову 3,52. Необхідно домагатись свідомого засвоєння звичайно застосовуваного способу добування квадратного кореня з багатоцифрового числа. Дуже бажано навчити учнів користуватись таблицями квадратів і квадратних коренів, що так спрощують і прискорюють обчислення і мають широке застосування на практиці.
Маючи на увазі ці обставини, природно роботу над темою «Добування квадратного кореня» почати з деякої раціоналізації піднесення чисел до квадрата. Бажано ознайомити учнів (якщо це не було зроблено раніше) з формулою (10а + 5)2 = 100а•(а + 1) +25, що спрощує піднесення до квадрата числа з цифрою 5 на кінці. Наприклад,
852= 100•8•9 + 25 = 7225;
99952 = 999•1000•100+25 = 99 900 025.
Показати вигоди застосування формул скороченого множення, хоча б на такому прикладі, як 492 = = (50— 1)2 = 2500 — 100 + 1 = 2401.
Але ще більше користі дає ознайомлення з таблицями, яке зручно почати із складання самими учнями таблиці квадратів двоцифрових натуральних чисел «у два входи», яка складається дуже швидко з допомогою самих додавань. Формула (а + 1)2 = а2 + 2а + 1 = а2 + (2а + 1) говорить, що, знаючи а2, дістаємо (а +1)2, додавши число 2а+ 1. Спочатку записуються квадрати чисел 10, 20, 30, ..., потім заповнюються послідовно окремі рядки:
212 = 202 + 41 = 441,
222 = 441 + 43 = 484,
232 = 484 + 45 = 529,
242 = 529 + 47 = 576 і т. д.
до 292 = 784 + 57 = 841,
302 = 841 + 59 = 900.
Одержання останнього числа, вже записаного на початку наступного рядка, контролює правильність всіх чисел взятого рядка. Діти швидко схоплюють спосіб складання таблиці, з власного почину продовжують її далі, правильно оцінюють вигоди її застосування і потім вже завжди користуються нею. Перейшовши до задачі добування кореня, розв'язують її насамперед способом систематичних проб, що здійснити можна дуже швидко, коли є тільки що розглянута таблиця квадратів. Так, бажаючи знайти сторону х квадрата, що має площу 4500 м2 пробуємо послідовно числа: 10 (мало, бо 102 = 100), 100 (багато, бо 1002 = 10 000), 50 (мало, бо 502=2500), 70 (багато, бо 702= = 4900), 60 (мало, бо 602 = 3600), 65 (мало, бо 652 = 4225), 67 (мало, бо 672= 4489), 68 (багато, тому що 682 = 4624). Отже,
67 м <х < 68 м, х ~ 67 м (з точністю до 1 м з недостачею). Зрозуміло, що таким же шляхом можна знайти і цифри десятих, сотих і т. д., причому треба виконувати множення або безпосередньо, або з допомогою повнішої таблиці квадратів. Корисно звернути увагу учнів на подібність цього способу систематичних проб з тими пробами, які доводиться виконувати при кожному зважуванні з застосуванням гир.
Таблиця квадратів чисел від 10 до 100
0 2 3 4 5 6 7 8 9
10 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
20 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
30 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
40 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
50 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
60 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
70 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
80 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
90 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
100 10000
Дальший крок — засвоєння звичайного способу добування квадратного кореня з багатоцифрового числа — дається учням значно важче. Вителі звичайно миряться з механічним застосуванням способу, що, звичайно, дуже небажано. Свідомому засвоєнню дуже сприяє геометричне тлумачення, яке допускає дальший розвиток і вдосконалення. Питання ставиться так: є деяка кількість квадратних сантиметрів, наприклад 529, і їх треба скласти так, щоб вийшов квадрат. Помічаючи, що 529 кв. см становить 5 кв. дм 29 кв. см, переконуємося, що в шуканий квадрат увійдуть насамперед 4 кв. дм, утворюючи квадрат із стороною в 2 дм.

Решту 1 кв. дм 29 кв. см, або всього 129 кв. см, будемо укладати смужками завширшки в 1 см справа і знизу; на кожну пару таких смужок піде 2 • 2 • 10 = 40 кв. см, і наявних 129 кв. см вистачить на 3 їх пари, але не більше, причому число 3 виходить в результаті ділення остачі 129 на 2•20 = 40, або, що те саме,— ділення 12 на 4. Уклавши ці три пари смужок, дістаємо нову остачу 129 — 120 = 9 (кв. см), яка піде на заповнення маленького квадрата (із стороною в 3см), що утворився в правому нижньому куті рисунка. Це геометричне тлумачення задачі добування квадратного кореня дозволяє наочно уявити кожний крок операції і домогтися повної свідомості її засвоєння.
Задача добування квадратного кореня з натурального числа а ставиться в двох видах: по-перше, знайти найбільше натуральне число х, квадрат якого менше даного теж натурального числа а, тобто число х, що задовольняє подвійну нерівність x2 ≤а < (х+1)2; по-друге, знайти наближене значення квадратного кореня з даного числа а із вказаною наперед точністю до (звичайно до 1, до 0,1, до 0,01, до 0,001 і т. д.); іншими словами, треба знайти дріб , що задовольняє умову . Ця задача зводиться до першої, якщо n=1. Вона аналогічна задачі подання звичайного дробу у вигляді десяткового з заданою точністю наближення, і корисно нагадати відповідну термінологію (наближення з точністю до з недостачею, з надлишком), а також з'ясувати, як робиться вибір між наближеннями з недостачею і з надлишком. Переходячи від добування квадратного кореня з натурального числа до його добування з будь-якого раціонального додатного числа, треба розібрати важливе питання про зміну кореня при зміні підкореневого числа; необхідно, щоб учні твердо знали, що збільшення числа в 10, 100, 1000 і т. д. разів викликає збільшення його квадрата в 102=100, 1002 =10 000, 10002 = 1 000 000 і т. д. разів, а його кореня — тільки в
і т. д. разів, ілюструючи цю залежність наочними геометричними прикладами, хоч би такими: в 1 кв. см міститься 100 кв. мм, а в 1 кв. м — вже 1 млн. кв. мм, а в 1 кв. км — мільйон мільйонів (трильйон), або тисяча мільярдів (1012) кв.мм.
Повернутись