Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Переваги десяткових дробів. Метрична система мір
Серед звичайних дробів винятково велике значення мають дроби, знаменниками яких є різні степені основи нашої системи числення, тобто числа 10, 102 = 100, 103 = 1000 і т. д. Ці дроби, що звуться десятковими, є окремим випадком систематичних дробів, тобто дробів, знаменниками яких є степені основи прийнятої системи числення (наприклад, у двійковій системі числення систематичними дробами є дроби із знаменниками 2, 4, 8, 16,...).
Особливе значення систематичних, зокрема десяткових дробів, про які лише і йтиме мова далі, зумовлене двома їх перевагами, що виділяють їх з усіх звичайних. По-перше, їх можна записувати без знаменника, базуючись на тому ж принципі порозрядного значення цифр, який дозволяє писати довільно великі натуральні числа з допомогою 10 цифр; якщо перехід на одне місце ліворуч в записі натуральних чисел означає збільшення значення цифри в 10 раз, то перехід на одне місце у зворотному напрямі, тобто праворуч, означає її зменшення в 10 раз. Тому праворуч від цифри одиниць повинні бути цифри, що виражають послідовно десяті, соті, тисячні і т. д. частини. Відмічаючи, яка саме цифра означає одиниці, з допомогою особливого знака дробовості (у нас і в більшості країн — кома, в Англії — крапка, іноді піднята до середини висоти цифри або навіть вище), ми маємо зручний спосіб запису десяткових дробів, поширений тепер скрізь: число завжди записується, як 2,57.
По-друге, дії над десятковими дробами виконуються значно простіше, ніж над іншими дробами. Наприклад, зведення двох десяткових дробів до спільного знаменника зводиться до простого зрівнювання числа десяткових знаків приписуванням нулів справа, множення і ділення на 10, 100. 1000 і т. д.— до простого перенесення коми.
Відмітимо, що десяткові дроби не можна протиставляти звичайним, бо десяткові дроби є окремий випадок звичайних, можливе лише протиставлення звичайних десяткових дробів звичайним недесятковим дробам. Неправильно говорити про перетворення десяткових дробів у звичайні: треба говорити про запис десяткових дробів із знаменниками (з наступним скороченням, якщо-воно можливе); можна говорити про запис звичайного недесяткового дробу, наприклад , у вигляді десяткового, а саме: у вигляді або в записі без знаменника 0,375. Таке протиставлення буде законним лише тоді, коли десятковий дріб означається як дріб із знаменником 10 в цілому додатному
степені, записаний без знаменника. Але тоді дріб доведеться називати звичайним, дріб 0,3 — десятковим.
З приводу читання десяткових дробів слід додати, що десяткові числа, які мають 4 цифри після коми, звичайно читають, не вказуючи знаменника, як два двоцифрові числа; наприклад, числа 3,1286 і 15,4005 читають так: три цілих дванадцять вісімдесят шість, п'ятнадцять цілих сорок нуль п'ять. Дуже рекомендується користуватись записом десяткових дробів без знаменника вже при вивченні звичайних дробів.
Вивчення десяткових дробів дуже виграє, якщо їх ілюструвати конкретними прикладами, зв'язаними із вживанням метричної системи мір, головною перевагою якої, що зумовила її поширення в усьому світі (крім Англії та Сполучених Штатів Америки, що досі частково зберігають свої незручні старі міри), є саме та обставина, що відношення між різними однорідними мірами виражаються степенями 10.
Проходячи десяткові дроби, вчитель одночасно повторює метричні міри, дбаючи про вироблення в учнів міцних наочних уявлень: треба не тільки говорити про метричні міри, а й показувати їх, виготовляти зразки деяких з них (м, дм, см, мм, кв. см і ін.), постійно вправляти учнів у використанні їх при вимірюваннях.
Дуже бажано, щоб учні цілком засвоїли два означення метра: і перше його означення як однієї сорокамільйонної частини земного меридіана, таке зручне для багатьох підрахунків, і його уточнене означення як відрізка на еталоні. Аналогічно і щодо кілограма, літра.
Вивчення десяткових дробів дається учням незрівнянно легше, ніж звичайних, що цілком природно, бо теорія звичайних дробів є порівняно багатий на ідейний зміст етап у розвитку поняття числа, а вчення про десяткові дроби зводиться до ряду правил технічного характеру, які випливають з теорії звичайних дробів. Новим принципово важливим моментом є необхідність округлення часток, які одержуються при діленні навіть точних даних, і пов'язаний з цим комплекс питань теорії наближених обчислень.
Послідовні кроки у вивченні десяткових дробів.
Не становлячи по суті нічого нового у порівнянні з діями над звичайними дробами, дії над десятковими дробами, записаними без знаменника (далі цього останнього застереження робити не будемо), вимагають знання кількох правил, які мають не принциповий, а суто технічний характер і легко одержуються із загальних правил дій над звичайними дробами. Ці правила дуже близькі до правил дій над натуральними числами. З'ясуємо коротко ті послідовні кроки, які доводиться виконувати при вивченні десяткових дробів.
1. Встановлюється означення десяткового дробу як такого звичайного, в якого знаменник дорівнює 10, 100, 1000 і т. д., взагалі одиниці з нулями, або, точніше, степеню 10 (з натуральним показником), і нагадується загальноприйнятий спосіб скороченого їх запису без знаменника; розглядаються приклади на зразок такого: 288 мм = 28,8 см = 2,88 дм = 0,288 м = 0,000288 км. Учні повинні бути спроможні провести приблизно таке міркування: «Що являє собою дріб 0,2704? Взято яку-небудь величину (цілу чи одиницю), поділено на 10000 рівних частин (нулів при одиниці стільки, скільки десяткових знаків після коми), таких десятитисячних частин взято 2704 (стільки, скільки одиниць містить натуральне число, утворюване десятковими знаками числа)».
Можливе і бажане розв'язування задач на обчислення десяткового дробу від даного числа і на обчислення числа за даним десятковим його дробом, тобто задач на зразок таких: знайти 0,45від7200; знайти число, 0,45 якого дорівнюють 7200 (з обов'язковим наочним поясненням точної суті цих двох задач, з підкресленням їх відмінності).
2. З'ясовується можливість подання однієї й тієї самої величини десятковими дробами різних видів, наприклад, 0,3 = 0,30 = = 0,300 = 0,3000; 0,42000 = 0,42, що випливає з відомої властивості звичайних дробів вираженої формулою і реалізується
у десяткових дробів особливо просто (приписування і закреслювання нулів справа від значущих цифр у дробовій частині, до чого і зводиться «роздроблення частин» і «укрупнення частин», або «скорочення дробу»); звідси випливає правило зведення до одного знаменника.
3. Встановлюється правило кратної зміни десяткового дробу в 10, 100, 1000 і т. д. разів (перенесення коми вправо або вліво на 1, 2, 3 і т. д. місця).
4. Формулюється критерій для порівняння двох десяткових дробів, яке виконується зразу після зведення їх до одного знаменника (тобто після зрівнювання числа десяткових знаків), але здійснюється й без нього — через порівняння числа цілих, а в разі їх рівності - через порівняння числа десятих, а у випадку їх рівності — через порівняння числа сотих і т.д.
5. Розглядається додавання десяткових дробів (спочатку з рівним числом десяткових знаків, потім усяких), встановлюється практичне правило, підкреслюється його схожість з правилом додавання натуральних чисел.
6. Так само розглядається віднімання десяткових дробів.
7. Установлюється правило множення десяткових дробів, яке випливає з правила множення звичайних дробів, коли врахувати можливість множення степенів 10 простим підрахуванням нулів (що зводиться до формули 10k•10n=10k+n). Дуже вигідний інший
спосіб, що ґрунтується на правилі кратної зміни дробу при перенесенні коми: бажаючи перемножити, наприклад, 3,64 і 0,025, переносимо кому у множеному на два, у множнику — на три місця праворуч, від чого добуток збільшиться в 100 • 1000 раз.
Знайшовши цей неправильний (збільшений в 100 000 раз) добуток 364 • 25 === 9100, виправляємо його, виконуючи ділення на 100000, для чого переносимо кому на 2 + 3 = 5 місць ліворуч і дістаємо шуканий добуток.
Щоб усунути небажане суто механічне виконання множення, необхідно нагадати про суть множення на дріб і розв'язати кілька задач на множення десяткових дробів двома способами — спершу, усуваючи дроби переходом до дрібніших одиниць, потім, застосовуючи множення на дріб. Наприклад, обчислення вартості 3,4 м тканини по 32,5 грн. за метр виконується так:
1-й спосіб: 3,4м = 34 дм, 32,5 грн. = 3250 коп.; вартість 1 дм 3250 коп. : 10 = 325 коп.;
вартість 34 дм
325 коп. • 34 = 11 050 коп. = 110 грн. 50 коп.
2-й спосіб: 32,5 грн. • 3,4 = 110,50 грн. = 110 грн. 50 коп.
8. Аналогічна робота проводиться над правилом ділення, причому спочатку слід брати тільки такі випадки, коли ділення приводить до частки у вигляді скінченого десяткового дробу. Перший етап — ділення на ціле число, яке тлумачиться як ділення на частини, другий — ділення на десятковий дріб, яке зводиться до ділення на ціле одночасним збільшенням діленого і дільника в однакове число разів, що не змінює частки. Відмітимо, що дбати треба про зведення до цілого вигляду лише дільника — не має значення, чи буде ділене цілим чи дробовим. Так, для ділення 0,56175 на 0,07 досить перенести кому на два місця праворуч і виконати ділення 56,175 на 7; зведення до ділення цілого на ціле (56175 : 7000) дасть, звичайно, той самий результат (8,025), але вимагатиме запису ряду зайвих нулів.
Щоб з'ясувати реальний смисл виконуваної дії, як і при множенні, треба розв'язувати задачі, зміст яких подається наочно. Наприклад, розглянутий тільки що випадок ділення можна ілюструвати такою задачею: «Знайти основу прямокутника, площа якого дорівнює 0,56175 кв. м, а висота 0,07 м».
1-й спосіб:
1 кв.м = 100 см •100 см = 10000 кв. см;
0,56175/св. м = = 5617,5 кв. см;
0,07 м = 7 см; 5617,5 кв. см : 7 см = 802,5 см = 8,025 м.
2-й спосіб: 0,56175 кв. м :0,07 м = 8,025 м.
9. Як відомо, ділення десяткових дробів (і зокрема ділення натуральних чисел, коли бажано подати частку у вигляді десяткового дробу) приводить до скінченого десяткового дробу лише порівняно рідко, частіше воно дає нескінченний періодичний дріб. Тут ми маємо принципово новий момент у вивченні арифметики — поява скінченої величини у вигляді суми нескінченно великого числа нескінченно спадних доданків. Тут учні вперше зустрічаються з ідеями, що лежать в основі математичного аналізу,
Проценти
Дроби із знаменником 100 виявилися в різного роду життєвій практиці найбільш придатними і дістали поширення далеко більше, ніж десяткові дроби з іншими знаменниками: десяті частини надто великі (користуючись лише десятими частинами, не можна відмітити багатьох істотних деталей), тисячні ж частини надто дрібні, їх застосування відвертає увагу від основного, робить це основне менш ясним. Природно, що соті частини, які особливо часто застосовувались, дістали як особливу назву — «проценти» (від латинського pro centum — «на сто»), так і окреме позначення (знак %). Отже, проценти — це не що інше, як соті частини, лише особливим способом записані: 65% те ж саме, що 0,65 або .
Застосування процентів набуло такого загального поширення, що в них почали виражати і десяті частини (кожна десята частина є 10 сотих, або 10%), і тисячні частини (кожна тисячна є одна десята від однієї сотої, тобто 0,1%), і замість запису або 0,7, найчастіше користуються записом 70%, а замість запису , або 0,329, записом 32,9%.
Широке застосування процентів зобов'язує домогтися найчіткішого засвоєння учнями цього поняття і набуття повноцінних навичок в його застосуванні. Здавалось би, що вивчення процентів не повинно викликати ніяких труднощів: дроби вивчені, проценти — це дроби із знаменником 100. Часу на їх вивчення у школі відведено досить. Проте розв'язування задач на проценти засвоюється дітьми з певними труднощами. У чому ж тут справа? Ось правильне пояснення.
«Замість того щоб з самого початку з вичерпною ясністю вказати, що проценти є лише особлива форма запису дробів і що через те не існує і не може існувати ніяких «задач на проценти», а що, навпаки, будь-яка задача з дробовими даними може бути поставлена і розв'язана у процентному записі і навпаки,— замість цього гранично ясного підходу до справи у нас створюють якийсь культ процентів, гіпостазуючи їх до надавання їм особливого предметного змісту, створюють для них особливу теорію і особливу категорію задач, словом, роблять усе можливе для того, щоб в уявленні школяра процент виріс у нове, далеке і важке поняття, яке вимагає спеціального підходу і спеціальних методів дослідження. А за цим, як правило, констатують, що «проценти погано засвоюються учнями». З цього пояснення причин труднощів вивчення процентів зразу випливає і вказівка, як усунути ці труднощі: треба домогтися правильного розуміння процентів як сотих частин числа і розв'язувати всі задачі на проценти, як задачі на дроби із знаменником 100, записані особливим способом. Таким чином, щоб знайти 18% від числа 245, учні застосовують два способи. Спочатку задача розв'язується двома діями: знаходять 1% даного числа, тобто одну соту його, ділячи 245 на 100, і дістають 2,45, а потім 18% помножаючи 2,45 на 18 і дістаючи 44,10, або 44,1. Другий спосіб потребує однієї дії — множення 245 на 0,18. Аналогічно стоїть справа і з другою основною задачею: якщо треба знайти число, знаючи, що 18% його становить 14,4,. знаходять 1% його, ділячи 14,4 на 18 і дістаючи 0,8, а потім — усе шукане число, що містить 100% (тобто 100 сотих), що дає 0,8 • 100 = 80; другий спосіб — одна дія ділення 14,4 на 0,18, що дає 14,4 : 0,18 =1440 : 18 = 80.
Домігшись ясного розуміння проценту як сотої частини і розглядаючи задачі на проценти як уже добре вивчені задачі на дроби, ми усунемо ті труднощі, які звичайно доводиться переборювати при розв'язуванні задач на проценти.
Третя основна задача на проценти — знаходження процентного відношення двох даних чисел — теж не становить по суті нічого нового для учнів, які добре засвоїли, що задача про те, яку частину одного числа а становить друге число b, розв'язується діленням b на а. Нехай треба дізнатись, скільки процентів від 75 становить число 15. Цілком приступне для учнів розв'язування полягає в тому, що 15 становить від 75, або, виражаючи сотими частинами, 0,20, тобто 20%.

Успіху розв'язування основних задач на проценти може сприяти складання (самими учнями) такої таблиці:

1%=0,01, або
2%=0,02, або
4%=0,04, або
5%=0,05, або
10% =0,1, або
12,5% = 0,125, або
15% = 0,15,
20% = 0,2, або
25% = 0,25, або
50% = 0,50, або
75% = 0,75, або
100% = 1,00
125% = 1,25, або
150%= 1,5, або
175% =1,75, або
200% = 2 і т. д.,

яку можна легко поповнити і яка повинна бути міцно засвоєна учнями з тим, щоб використовувати її при усних обчисленнях.
Для успіху розв'язування задач на проценти першорядне значення має розуміння необхідності в кожному окремому випадку встановлювати, що приймається за одиницю (за ціле, за 100%). Якщо, наприклад, деякий раціоналізаторський захід знизив собівартість виробу з 5000 грн. до 4000 грн., то це зниження становить 20%: тут за одиницю (за ціле, за 100%) береться колишня собівартість (5000 грн.) і встановлюється, скільки сотих її частин становить різниця. Друга постановка питання: на скільки процентів підніметься ця нова собівартість, якщо відмовитись від цього заходу. Тепер відповідь буде інша. Тут за одиницю (за ціле, за 100%) береться нова собівартість, тобто 4000 грн., і підвищення (1000 грн.) становить вже 25% від неї. Ще задача: яка буде остаточна ціна товару, якщо початкову ціну спершу підвищити на 10% потім знизити теж на 10%. Підвищена ціна становить 110% початкової, і при розрахунку зниження за одиницю (за ціле, за 100%) береться ця нова ціна, так що 10% нової ціни складає 110:10 = 11% початкової ціни; остаточна ціна становить,, таким чином, 99% початкової.
Вчителеві треба спинитися і на задачах, подібних до такої: ціна товару знижена на 35% і становить тепер 9 грн. 10 коп.; яка була ціна до зниження? Вказано зниження в процентах від початкової ціни, яка, отже, береться за 100% Нова ціна становить, таким чином, 100%—35% =65% початкової, але відомо, що. ця нова ціпа дорівнює 9 грн. 10 коп. Залишається знайти число, 65% якого дорівнюють 9 грн. 10 коп., що ми вже уміємо робити.
Якщо учні міцно засвоїли поняття про процент як про соту частину і якщо набули свідомої навички в розв'язуванні вказаних найпростіших задач, розв'язування складніших задач не викликає особливих труднощів. Вкажемо дві такі задачі, зв'язані з запровадженням нових важливих ідей.
«Підприємство щороку підвищує свою продуктивність на 20%. Який буде приріст його продуктивності за п'ять років?» Відповідь 20% • 5= 100% грубо помилкова, річний приріст завжди обчислюється від того, що було на початку року. Прийнявши продуктивність на початку 1-го року п'ятирічки за 100%, на кінець цього року (тобто на початок 2-го року) маємо продуктивність 100% + + 20%= 120%, на кінець 2-го року — вже 120% + 24% = 144%, на кінець 3-го року 144% + 28,8% = 172,8%, на кінець 4-го року 172,8% + 34,56% = = 207,36%, на кінець 5-го року 207,36% + 41,472% =248,832%. На кінець п'ятирічки продуктивність, таким чином, становитиме майже 249% від тієї, що була на початку її, і приріст за п'ятирічку дорівнюватиме не 100%, а 149%.
Тут ми зустрічаємося з прикладом зміни за законом складних процентів.
Ось ще задача практичного характеру, яка вводить нове поняття — поняття зваженого середнього: «Підприємство випустило в 1 кварталі 200 т продукції, в тому числі 80% першого сорту, а в II кварталі 300 т, в тому числі 90% першого сорту. Який випуск першого сорту в процентах в середньому за І і II квартал разом?» Звичайний спосіб знаходження середнього показника (80 + 90= 170, 170 : 2= 85%) тут застосувати не можна, бо щоквартальні показники випуску першосортної продукції стосуються різних кількостей валової продукції і їх не можна додавати. Правильне розв'язання таке: за І квартал випущено 200 • 0,8= 160, за II квартал 300 • 0,9= 270, за обидва 160 + 270 = 430 (т) першосортної продукції із загального числа 200 + 300= 500 (т), і залишається дізнатись, скільки процентів від 500 становить 430 (відповідь: 86%).
Наступна задача, цікава тим, що не тільки учні, а й учителі звичайно дають спочатку неправильне її розв'язання: «Скільки кілограмів води треба випарити з 100 кг маси, що містить 90% води, щоб дістати масу, яка б містила 80% води?» Правильна відповідь (50 кг) здається з першого погляду зовсім неймовірною. Дуже повчально скласти табличку, яка б показувала поступове зниження вмісту води в процентах від всієї маси при випарюванні 10кг, 20кг, 30кг, .... 90кг, і зобразити хід випарювання графічно.
Учні, які добре опанували операції над звичайними дробами, не відчувають ніяких утруднень при розв'язуванні задач на проценти, якщо тільки не збивати їх, розглядаючи проценти як щось нове, принципово відмінне від дробів.

Перетворення звичайних недесяткових дробів у десяткові
Дії над десятковими дробами мають такі переваги, що постає питання, чи не можна взагалі відмовитися від застосування всяких інших дробів, крім десяткових. Для повної відповіді на це питання доводиться розглянути кілька порівняно простих тверджень і практично оволодіти двома способами перетворення недесяткових дробів у десяткові: способом множення, що застосовується в тих випадках, коли знаменник даного недесяткового дробу є число виду 2n•5k, n≠k, і способом ділення, що можна застосовувати завжди, але він дає скінчений десятковий дріб лише тоді, коли можна застосувати і спосіб множення, а в усіх інших випадках дає нескінченний періодичний десятковий дріб, який для практичного його застосування доводиться округляти. При вивченні цього модуля учні зустрічаються з новими поняттями — нескінченного десяткового дробу та періодичного десяткового дробу, і вчитель повинен серйозно подбати про повноцінне їх засвоєння (до них доведеться не раз повертатися пізніше, і неправильне їх розуміння завдасть немало ускладнень). Вивчення теоретичної сторони питання не викликає ніяких труднощів; воно зводиться до свідомого засвоєння таких теорем:
1) кожне з чисел 10, 100, 1000, 10 000,... є добуток двійок і п'ятірок, причому тих і других маємо стільки, скільки нулів написано при одиниці: 10 = 2•5, 100=2•2•5•5 = 22•52, 1000 = 2•2•2•5•5•5 = 23•53 і т. д.;
2) якщо знаменник дробу не має інших простих дільників, крім двійок і п'ятірок, то цей дріб перетворюється в десятковий множенням чисельника і знаменника на відповідне число двійок чи п'ятірок; той же результат дає і ділення чисельника на знаменник;
3) якщо нескоротний дріб має в знаменнику хоч один простий дільник, відмінний від двох і п'яти, перетворення цього дробу у (скінчений) десятковий неможливе;
4) виконуючи в цьому випадку ділення чисельника на знаменник з записом частки у вигляді десяткового дробу, дістанемо нескінченний десятковий дріб, до того ж періодичний з періодом, що містить найбільше стільки цифр, скільки одиниць у знаменнику без однієї.
Оволодівши цими легко доводжуваними теоремами, учні повинні вміти, базуючись на них, здійснювати перехід від будь-якого недесяткового дробу до рівного йому десяткового, скінченного або нескінченного, вибираючи найбільш раціональний шлях. Такі дроби, як і т. д., вони повинні перетворювати в десяткові усно, такий дріб, як письмово, застосовуючи або спосіб множення (чисельник і знаменник множаться на 56 = 625 25 = 15 • 625, причому фактично доводиться виконувати тільки множення чисельника, бо результат множення знаменника відомий заздалегідь), або спосіб ділення (добра перевірка результату, добутого одним способом, результатом, який дає другий спосіб!). Учні повинні розуміти, що для дробів із знаменниками З, 6, 7,9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19,... спосіб множення зовсім незастосовний, а способом ділення дістаємо їх подання у вигляді нескінченних десяткових періодичних дробів. Учні повинні вміти одержувати ці періодичні дроби в найпростіших випадках (для значення знаменника 3 або 9) в думці, в решті випадків — письмово, заздалегідь вказуючи, яке найбільше число цифр може бути в періоді. Дальше поглиблене вивчення теоретичної сторони дає багато цікавих результатів, які легко відкриваються самими учнями:
- Які звичайні дроби при перетворенні в десяткові дають період, що починається зразу після коми, тобто «чисті» періодичні дроби, і які дають «мішані» періодичні дроби?
- Який зв'язок між періодами дробів, що мають один і той самий знаменник, як наприклад, ?
- Яку поправку до догадки треба внести, розглядаючи дроби із знаменником 13?
- Яку частину максимально можливого при даному знаменнику числа цифр періоду становить фактичне число його цифр?

Періодичні дроби.
Коли з'ясовано, що будь-який звичайний недесятковий дріб перетворюється або в скінченний десятковий, або в нескінченний десятковий періодичний, неминуче постає обернене питання — про перехід від будь-якого даного нескінченного десяткового періодичного дробу до дробу звичайного, перетворення якого в десятковий дає цей періодичний. Чи завжди існує такий звичайний дріб? Як його знайти, якщо він існує?
Відповідь така: для будь-якого періодичного десяткового дробу, крім дробів з періодом з однієї цифри 9, існує єдиний нескоротний дріб, який дає при перетворенні в десятковий цей періодичний; утворюються ці звичайні дроби за двома відомими правилами (одне для чистого, друге для мішаного періодичного дробу), які при застосуванні, наприклад, до випадків 0,(459) і 0,43(2) дають (перетворення в десяткові дроби, як легко бачити, дає саме дані періодичні дроби); для дробу з періодом 9 не існує відповідного звичайного, тобто такого, перетворення якого в десятковий давало б цей періодичний (з періодом 9), бо кожний такий дріб, якщо його розглядати як границю послідовності скінчених десяткових дробів, що являють собою «відрізки» цього періодичного, є або ціле число, або скінчений десятковий дріб; наприклад, 0,(9), як границя послідовності дробів 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, ... , є одиниця, а дріб 0,45(9), як границя послідовності дробів 0,4, 0,45, 0,459, 0,4599, 0,45999, 0,459999 і т. д., є 0,46.
У тих арифметичних операціях, з якими доводиться зустрічатися при різних практичних обчисленнях, періодичні дроби зовсім не використовуються, але без ознайомлення з ними вивчення теорії дробів залишається незакінченим. Природне місце для періодичних дробів у курсі загальноосвітньої школи — в розділі про геометричну прогресію, що бо кожний чистий періодичний дріб можна розглядати як границю суми членів деякої геометричної спадної прогресії, а питання про мішані періодичні дроби легко зводиться до питання про чисті періодичні дроби.

Мішані обчислення із звичайними дробами, десятковими і недесятковими.
Тепер при різних числових розрахунках переважає застосування десяткових дробів, причому широко використовуються правила наближених обчислень. Звичайні недесяткові дроби з невеликими знаменниками застосовуються часто, бо вони простіші, ніж рівні їм десяткові; наприклад, дробами користуватися простіше, ніж дробами 0,125 і 0,333... Звичайні (недесяткові) дроби з великими знаменниками застосовуються незрівнянно рідше, але все ж застосовуються, маючи в деяких випадках певні переваги перед десятковими. Важливо вміти робити правильний вибір між тими й іншими в кожному окремому випадку, і навчити цього учнів можна і треба. Для цього, по-перше, треба уважно ставитись до формулювання умов всіх задач, як розв'язуваних у класі, так і задаваних для самостійної роботи учнів, уникаючи нераціонального застосування тих чи інших дробів, і, по-друге, вимагати від учнів свідомого, обґрунтованого вибору в кожному окремому випадку. Розглянемо задачу «Сума трьох чисел дорівнює 770. Перше число становить % другого і % третього. Знайти ці числа». Тут маємо недоречне поєднання процентів, тобто сотих частин, з такими частинами, як сьомі і сімнадцяті. Тут слід було б зовсім відмовитись від процентів: перше число становить , або , другого і , або , третього.
Щоб розв'язати цю задачу без будь-якого спеціального правила, покладаємо, що перше число містить 15 частин. Тоді друге містить 28 таких же частин, а третє 34 такі ж частини. Доведення розв'язування до кінця не вимагає пояснення.
Питанню про те, якими дробами краще користуватися, десятковими чи недесятковими, доводиться приділяти багато уваги, розв'язуючи його в кожному окремому випадку відповідно до умов задачі.
Приклад: обчислення х = 0,567• , виконуване в думці:
567 : 7 = 81; 81 • 3 = 243; х = 0,243.
Повернутись