Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Першим завданням учителя, який приступає до систематичного вивчення дробів, є вироблення в учнів ясного розуміння того, що являє собою будь-який дріб, наприклад . Вони повинні засвоїти, що деякий предмет (ціле, яке часто називається одиницею) поділений на 12 рівних частин і що таких частин взято 7. Розгляд ряду конкретних прикладів утворення дробів при одиницях найрізноманітнішої природи (відрізки, кружечки, всілякі предмети, з якими учні мають справу дома і в школі), що допускають ділення на рівні частини, приводить учнів, нарешті, до цього розуміння дробу: вони починають бачити абстрактне число, сім дванадцятих частин будь-якої одиниці (що допускає ділення).
Особливо корисне для з'ясування поняття дробу розв'язування різних задач на поділ, що мають справді життєвий і близький до інтересів дітей зміст. Поділити 8 яблук порівну між чотирма товаришами дуже легко, але. як поділити між ними 9, або 10, або 11 яблук? Змінюючи числа, прийдемо до загального висновку, що будь-яке число яблук (і всяких інших предметів, що поділяються на частини) можна поділити порівну між будь-яким числом учасників поділу, застосовуючи спершу добре знайоме ділення цілих чисел, а потім поділяючи на належне число рівних частин кожну одиницю остачі. Коли учні будуть упевнено, швидко і точно виконувати ділення будь-якого цілого на ціле, як наприклад 150 на 7, свідомо одержуючи результат у вигляді мішаного числа або у вигляді неправильного дробу , перший важливий крок у справі вивчення дробів буде тим самим зроблений. Відмітимо таку важку задачу на поділ, яку корисно дати як задачу, що розвиває кмітливість: поділити 5 яблук між 6 дітьми так, щоб усі дістали порівну і щоб жодне яблуко не треба було ділити на 6 частин (кожне з 3 яблук ріжеться пополам, кожне з двох останніх — на три рівні частини, кожний одержує . Усвідомленню суті дробу дуже сприяє розв'язування задач на «відшукування дробу від числа». Щоб знайти, наприклад, паперової смужки, можна з успіхом застосувати послідовне складання її пополам. Щоб знайти довжину смужки, що дорівнює 136 мм, знаходимо спочатку діленням довжину однієї сімнадцятої її частини, що дорівнює 136 мм : 17 = 8 мм, а потім довжину трьох сімнадцятих, що дорівнює 8 мм • 3 = 24 мм.
Розв'язування оберненої задачі — знаходження числа за даним його дробом — також вимагає від учнів лише розуміння того, що таке дріб, і доступне вже на перших кроках вивчення дробів. При конкретній і наочній постановці задачі вона розв'язується без утруднень: на очах класу вчитель послідовно складає паперову смужку, відокремлює її, решту ховає; вимірявши цю відокремлену частину і переконавшись, що вона має довжину, наприклад 57 см, він ставить запитання: яка була довжина всієї взятої смужки? Правильна відповідь — треба поділити 57 см на 3, щоб знайти довжину смужки, а потім одержане у частці число 19 (см) помножити на 8 — виходить без усяких труднощів. Задачі: знайти від 24 і знайти число, якого становлять 24, якщо їх давати в абстрактній формі, звичайно утруднюють учнів, тому деякі вчителі розглядають їх трохи пізніше, а саме: першу в зв'язку з множенням на дріб, другу в зв'язку з діленням на дріб. Правильнішим є інший шлях: ці дві задачі не вимагають нічого, крім ясного розуміння того, що таке дріб, і їх треба розв'язувати на самому початку роботи над дробами. Тут ці задачі розв'язуються кожна двома діями; при вивченні множення і ділення на дріб відбувається корисне повернення до цих задач, причому засвоюється спосіб розв'язування кожної з них однією дією.
Вкажемо, нарешті, третю основну задачу на дроби, розгляд якої також цілком доречний на самому початку роботи над дробами: знайти, яку частину одного даного числа становить друге дане число, тобто знайти відношення двох даних чисел. Спочатку термін «відношення» краще не вводити, обмежуючись конкретними запитаннями на зразок таких: яку частину метра становлять20см, 30 см, 40 см, 52 см, 75 см?
Поняття дробу можна вважати правильно і міцно засвоєним, якщо учні спроможні впевнено розв'язувати конкретні задачі всіх трьох зазначених основних типів.
Після того як досягнуто повного, доступного розуміння того, що таке дріб, розглядаються три питання: питання про різні форми зображення того самого дробу, що приводить до правила скорочення дробу і підготовляє зведення дробів до одного знаменника, потім найтісніше пов'язане з ним питання про зміну дробу при кратній зміні (збільшенні або зменшенні в кілька разів) одного з його членів і, нарешті, питання про порівняння одного з одним двох дробів.
Розв'язуючи задачу ділення цілого числа на ціле число, ми зустрічаємося з випадками, коли добуту за загальним правилом відповідь можна замінити іншою, практично зручнішою. Так, якщо вимагається поділити 4 яблука між 8 особами порівну, то замість того, щоб різати кожне яблуко на 8 рівних частин і давати кожній по , краще розрізати кожне яблуко тільки пополам і, одержавши всього вісім половинок, дати кожній по . Таким чином, переконуємося, що дроби (однієї і тієї ж одиниці) рівні. Зібравши деякий конкретний матеріал на таких прикладах, легко зробити і загальний висновок, по-перше, про можливість будь-який дріб подати з допомогою дрібніших частин і, по-друге, про можливість зображати деякі дроби з допомогою більших частин («укрупнення частин», або, як прийнято говорити, «скорочення дробів»). Роздроблення частин можливе завжди, до того ж безліччю способів, бо будь-яку частину можна замінити частинами в 2, 3, 4, 5 і т. д. разів дрібнішими; скорочення ж дробу можливе лише іноді, і коли можливе, то завжди лише обмеженим числом способів, серед яких завжди є один, який зразу дає найбільш можливе спрощення (наприклад, дріб можна подати тільки в дев'ятих, шостих, третіх частинах, але ні в яких інших крупніших). Після цього вже неважко прийти і до двох відомих правил, виражених словами або формулою , яка при читанні зліва направо дає правило подання дробу в дрібніших частинах, тобто правило «роздроблення частин», а при читанні справа наліво — правило подання дробу більшими частинами, тобто правило «скорочення дробу».
Подібно до того як повне з'ясування суті символу у є першим істотним кроком у справі опанування звичайних дробів, повне усвідомлення суті формул є другим таким самим кроком. Учень повинен уміти пояснити, що тут є деяка величина (ціле, якась одиниця), яка ділиться спершу на b рівних частин, а потім (діленням кожної з цих частин на m рівних дрібніших «частинок») усього на bm рівних «частинок»; якщо було взято а початкових (великих) частин, то в них тепер стане am дрібних частинок, і ми маємо підставу твердити, що дроби — виражають одну й ту саму величину, подану один раз у більших, другий раз у дрібніших частинах. Уміння провести ці нескладні міркування має поєднуватися з умінням навести конкретні приклади ні якому разі не завчені, а придумані самими учнями). Такого ж результату можна і треба досягти і з правилом скорочення дробу.
Розглянувши формули , природно поставити питання про те, що буде з дробом, якщо збільшити або зменшити в будь-яке число разів (термін «кратна зміна» коротший, але важчий, і його краще запровадити тільки при повторенні) тільки чисельник або тільки знаменник дробу. На конкретних прикладах легко встановлюється загальний висновок, який говорить, що збільшення в будь-яке число разів чисельника дробу при збереженні незмінним його знаменника рівнозначне збільшенню в стільки ж разів самого дробу , а збільшення в будь-яке число разів знаменника при збереженні незмінним чисельника рівнозначне зменшенню в стільки ж разів самого дробу . Множення кожного члена дробу на будь-яке натуральне число m можливе завжди, але іноді можливе і ділення. Який вплив на величину дробу має таке ділення? Розв'язання цього питання, що природно випливає з розв'язання питання про вплив збільшення одного з членів дробу в кілька разів, підтверджується розглядом конкретних прикладів і виражається кінець кінцем відповідними словесними правилами і загальними формулами: Зазначимо ще раз, що словесні формулювання висновків і правил повинні стояти на першому місці — їх засвоєння треба домогтися за всяку ціну, а буквені формули — на другому (їх засвоєння дуже бажане, але вимагати його від усіх не завжди можливо). Свідоме засвоєння питання про зміну величини дробу при кратній зміні одного з його членів дає можливість розв'язувати велику кількість задач-прикладів і задач-розрахунків на множення і ділення дробів на будь-які цілі числа. Займаючись цим, учитель повинен уважно стежити за тим, щоб не було механічного застосування завчених правил, щоб за кожною операцією над дробом, яку виконує учень, стояв наочний образ (хоч би у вигляді відрізка, поділеного на рівні частини, або у вигляді кружка, поділеного на рівні сектори).
Навчившись множити і ділити дроби на цілі числа, учні зробили третій істотний крок в опануванні теоретичної сторони вчення про дроби. Далі йде четвертий крок - порівняння за величиною двох дробів: спершу порівнюються два дроби з рівними знаменниками, потім — з рівними чисельниками, нарешті,— з різними знаменниками і чисельниками, що приводить до необхідності зведення дробів до одного знаменника, яке і засвоюється без будь-яких утруднень, якщо забезпечити повторення пройденого раніше про найменше спільне кратне двох і більше чисел.
Зведенням дробів до одного знаменника і закінчується вивчення вступної частини розділу про звичайні дроби — далі йде вивчення чотирьох дій.
Зробимо ще кілька окремих зауважень.
1. Учні нерідко плутають поняття «більше у стільки-то разів» і «більше на стільки-то одиниць», з яких перше пов'язане із множенням, друге — з додаванням. Корисно для кращого засвоєння обох понять після розгляду питання про зміну дробу при збільшенні в кілька разів його чисельника і знаменника розглянути питання про те, що буде з дробом, якщо його члени одночасно збільшити або зменшити на рівне число одиниць, взявши, наприклад, таку задачу: «Що стане з дробом , якщо його чисельник і знаменник збільшити одночасно на 1?» Те саме питання для дробу . Загальне розв’язання учнями сприймається важко, але в окремих же випадках воно значно легше і може бути цікавим для учнів, якщо зв'язати його з практичною задачею на зразок такої: «За один стіл посадили п'ятьох і дали їм чотири кавуни; за другим столом сиділо шестеро, і їм дали на один кавун більше; треба порівняти те, що одержав кожний з тих, хто сидів за першим і за другим столом, припускаючи, що поділ за кожним столом був виконаний порівну». Відмічаємо таку добру задачу, що вимагає невеликої догадки, яка легко спадає на думку, коли наочно подати умову: «Не зводячи до одного знаменника, з'ясувати, який з двох дробів більший,
Розв'язання дістаємо одразу, порівнявши те, чого в кожному з дробів невистачає до 1.
2. При розв'язуванні різних задач на поділ, що відіграють таку велику роль на перших кроках вивчення дробів, корисно показати ряд практичних прийомів, що полегшують ділення на рівні частини відрізків і кругів: складання паперових смужок і кружечків, що дозволяє легко ділити на 2, 4, 8, 16, 32 рівні частини, поділ кола на 6 рівних частин, що дозволяє також ділити на 3, 12, 24, 48 рівних частин (у поєднанні з складанням), поділ відрізка і дуги на будь-яке число рівних частин способом систематичних спроб: наприклад, щоб поділити коло на 5 рівних частин, беремо циркулем відрізок, трохи більший радіуса, і відкладаємо його по колу 5 раз; одержавши трохи більше або менше за ціле коло, ділимо цей надлишок чи недостачу на 5 рівних частин (на око) і відповідно виправляємо взяту відстань між вістрями циркуля, після чого повторюємо операцію; після повторного виправлення помилка буває звичайно зовсім непомітною.
3. Домігшись розуміння дробу як результату деякої операції над довільною одиницею, операції, яку учні повинні впевнено і свідомо виконувати, як тільки їм дана ця одиниця і значення a i b, ми виконаємо тим самим друге розширення поняття числа (першим було запровадження нуля): замість множини натуральних чисел, доповненої числом 0, у нас тепер множина раціональних невід'ємних чисел.

Додавання і віднімання дробів
Додавання і віднімання звичайних дробів проходить без особливих утруднень, якщо, звичайно, учні опанували поняття дробу і ті операції з дробами, які були розглянуті в попередньому параграфі. Інакше й бути не може, бо ніяких нових ідей у цих двох
діях над дробами немає: додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками по суті тотожне додаванню і відніманню іменованих чисел, добре знайомих учням ще з початкової школи, а зведення дробів до одного знаменника зовсім аналогічне перетворенню іменованих чисел, даних у різних одиницях, в іменовані числа, виражені однаковими одиницями. Кожному зрозуміло, що значить додати 3 кг і 4 кг або 3 кг і 750 г, і додавання або
3 1 о о
при умові ясного розуміння того, що таке дріб, ніяких принципових труднощів не становить (на відміну, наприклад, від множення, де ми натрапляємо на необхідність узагальнення означення цієї операції). Означення додавання і віднімання дробів учні сприймають звичайно з деяким здивуванням: що в них нового? їх без усякої шкоди для справи можна випустити, відразу переходячи від конкретних прикладів до загальних правил.
Зазначимо такі деталі:
1. Нерідко учні, виконуючи додавання і віднімання мішаних чисел, перетворюють їх спочатку в неправильні дроби. Це зовсім непотрібне, шкідливе ускладнення. Нормальний повний запис такий:

В міру набування міцної навички окремі ланки цього повного запису випускаються.
2. Вимагаючи повного запису у складніших викладках, треба рішуче забороняти такий запис у випадках, що не становлять ніяких утруднень для усного
розв'язування, як наприклад, .
3. Вивчаючи загальні прийоми, треба, як і завжди, використовувати спрощення, можливі в окремих випадках. Наприклад, обчислення суми можна виконати в думці, якщо звернути увагу на те, що

Множення дробів
Множення дробу на натуральне число по суті вже засвоєне, якщо засвоєні міркування про зміну дробу при кратній зміні його членів. Але все ж корисно ще раз повернутись до цього питання, перш ніж розглядати множення дробів у загальному випадку. Треба згадати означення добутку, яке застосовувалось при вивченні натуральних чисел (ab є сума b доданків, кожний з яких є а), окремо відмітивши смисл добутків a•1 i a•0, і показати, що це розуміння добутку залишається силі і тоді, коли а — дріб. Формулюючи правило множення дробу на ціле, яке виражається формулою , треба спинитися на деяких технічних деталях: з'ясувати доцільність скорочення до множення а на m; показати, що для множення мішаного числа на ціле завжди вигідніше множити окремо цілу і дробову його частини, а не перетворювати його в неправильний дріб. Принципова сторона тут ніяких труднощів не становить.
Інакше стоїть справа з множенням на дріб, бо для дробового множника попереднє означення добутку як суми рівних доданків уже не придатне: не можна взяти а доданком рази. Необхідне нове означення добутку, до того ж таке, щоб в разі цілого множника це нове означення давало б те саме, що й старе (нове означення повинно бути узагальненням старого, старе повинно бути окремим випадком нового), і щоб воно мало ті самі основні властивості, що й добуток натуральних чисел.
З суто теоретичної сторони питання розв'язується дуже просто: означаючи добуток як дріб , легко переконуємося, що в разі цілого множника, коли d=1, цей добуток, що дорівнює , або , або , можна розглядати як суму с рівних доданків, тобто, що він справді є узагальненням старого означення добутку як суми рівних доданків. Так само ніяких утруднень не викликає і перевірка основних властивостей: добуток дробів завжди існує, однозначно визначається заданням множеного і множника, має переставну властивість , бо її мають добутки натуральних чисел ас = са і bd=ca, має
сполучну властивість, яка виражається формулою i випливає із сполучності добутків натуральних чисел, має розподільну властивість відносно додавання, бо легко переконатися в справедливості формули
Про методику множення дробів написано багато, але найкращі результати дає спосіб, що ґрунтується на розгляді якої-небудь практичної задачі, в якій при сталому множеному множник набуває ряду значень як цілих, так і дробових Ось приклад застосування цього способу.
Якщо треба знайти вартість 3 кг, знаючи що 1 кг коштує 15 грн., треба виконати множення 15 грн. на 3, що дає 45 грн. (задача розв'язується множенням на натуральне число).
Якщо треба знайти вартість кг, при тій самій ціні в 15 грн. за 1 кг, треба виконати ділення 15 грн. на 5, що дає 3 карбованці (задача розв'язується діленням на натуральне число).
Якщо треба знайти вартість кг при тій самій ціні 15 грн. за 1 кг, задача розв'язується двома діями: одним діленням і одним множенням на натуральні числа.
Якщо треба знайти вартість кг, при тій самій ціні 15 грн. за 1 кг, задача розв'язується чотирма діями: 15 грн. • 2 = 30 грн., 15 грн. : 5 = 3 грн , 3 грн. • 4= 12 грн., 30 грн. + 12 грн.=42 грн. Проте можливе і зведення цього випадку до попереднього перетворенням мішаного числа у неправильний дріб.
Природно виникає питання: чи не можна дати одне загальне правило для розв'язування нашої задачі при всяких значеннях тієї кількості кілограмів, вартість якої визначається? Виявляється, що це загальне правило виходить само собою, якщо ввести нову дію множення на дріб як відшукування дробу від даного числа: множення 15 на будемо розуміти як відшукування від 15, тобто як ділення 15 на 5, множення 15 на будемо розуміти як знаходження від 15, тобто як ділення 15 на 5 з наступним множенням 3 на 4, взагалі множення на будемо розуміти як відшукування дробу від , тобто як ділення на d з наступним множенням частки на с, що дає в остаточному результаті .
Учням це узагальнення множення завжди дається нелегко. Можна рекомендувати не поспішати, розглядаючи два варіанти розв'язування кожної задачі на множення дробів: перший,— що не вимагає множення на дріб, другий — заснований на цій новій для учня дії, і дати змогу учням самим визначити, який спосіб кращий. Спочатку майже всі рішуче висловлюються за перший спосіб («так довше, але зрозуміліше»), але поступово число прихильників другого способу все зростає, і, нарешті, настає момент, коли з ним щиро примиряються всі, оцінюючи його безсумнівні вигоди і переборюючи свою прихильність до старого, звичного розуміння множення як додавання рівних доданків.
Наводимо примірне розв'язання ще однієї такої задачі.
«На кожну грядку треба вилити відра води. Скільки води буде потрібно для грядки?»

І розв'язання (без множення на дріб).
1. На 5 грядок треба (відра).
2. На грядки треба (відра).
3. На грядки треба (відра).
4. На грядки треба (відра).

II. Розв'язання (з множенням на дріб).
На грядки треба (відра).
Якщо взяти задачу на зразок такої: «Швидкий поїзд пройшов за хвилину км; яку відстань він пройде з тією ж швидкістю за хвилини?», то розв'язати її можна не двома, а вже трьома способами: крім двох способів, розглянутих вище, можливе ще розв'язання, що зовсім усуває дроби: км = 1200м, 1200 м • 4= =4800 м, 1200м : 2=600 м, 4800м+600м=5400м, або 5 км 400 м. Таке розв'язання також знаходить собі прихильників, число яких швидко меншає, коли взяти ту саму задачу з іншими дробовими даними, що важче виражаються цілими числами (наприклад швидкість за хвилину км).
Отже, кращою запорукою свідомого подолання учнями цього безперечно найважчого в курсі арифметики моменту множення на дріб — є довір'я до здорового розуму учнів і показ на ряді конкретних прикладів переваг нового розуміння цієї дії.
Вчителеві треба мати на увазі, що однією з обставин, що дуже бентежить учнів при вивченні множення дробів, є факт зменшення числа в результаті його множення на правильний дріб: тут має місце суперечність з самим терміном («помножити» — збільшити). Цьому питанню доводиться присвячувати окреме роз'яснення, яке має на меті встановити правильний погляд на множення на дріб як на деяку нову дію, при якій частина властивостей старої дії (множення на ціле) зберігається, але поряд з нею набуваються і деякі нові властивості.
Коли принципова трудність нової дії подолана, закріпити під повідну техніку вже неважко. Є досить задач-прикладів і задач-розрахунків на множення дробів. Відмітимо особливу користь подібних задач з геометричним змістом: на визначення площі прямокутника із сторонами, довжина яких виражається дробовими числами (розв'язування треба неодмінно супроводити рисунком, застосовуючи всі вказані вище способи), на визначення довжини кола за даним його діаметром. Попередньо треба встановити належними вимірюваннями, що довжина кола у рази більша за довжину свого діаметра, причому для початку краще брати кола з діаметром у 7, 14, 21, 28 і т. д. сантиметрів. Можна заздалегідь вказати наближене значення відношення довжини кола до діаметра, рівне , як таке, що має бути перевірене. Вимірюється, наприклад, діаметр основи відра, помножається на Зу , потім вимірюється обвід кола основи (смужкою паперу), і результати порівнюються.
В результаті достатньої кількості вправ в учнів повинно виробитися не тільки формальне знання правила, вираженого формулою , але й переконання в тому, що всі задачі, що вимагають множення цілих чисел, якими виражені дані, розв'язуються множенням і тоді, коли ці цілі дані замінені дробовими.

Ділення дробів
Ділення натуральних чисел, дається важче від множення; з діленням же дробів у справа стоїть навпаки: воно потребує значно менше турбот і часу, ніж множення. Справа в тому, що означення ділення, знайоме учням з початкової школи («поділити одне число на друге—значить знайти таке третє число, яке, будучи помножене на друге, дає перше»), зберігається без змін і для дробів.
Поділити дріб на — це значить знайти число (дріб) ,
яке, будучи помножене на , дає . Тому , звідки і (тут ми користуємося вже відомими правилами зміни дробу при кратній зміні одного з його членів). Подібне виведення правила ділення дробів можна, звичайно, проводити на числових прикладах.
Але можливий і інший підхід до ділення дробів. Часто починають з розгляду питання про відшукування цілого за даним його дробом, про що була вже мова вище, і розв'язують задачі, подібні до таких:
Якщо треба знайти ціну 1 кг, знаючи, що 3 кг коштують 45 грн., то задача розв'язується однією дією — діленням на натуральне число (45 грн.: З = 15 грн.).
ЯКЩО треба знайти вартість 1 кг, знаючи, що за кг довелось заплатити 35 грн., то задача розв'язується двома діями з попереднім перетворенням у неправильний дріб : спочатку визначається вартість кг, а саме: 35 грн. : 7 = 5 грн., а потім ціна 1 кг, а саме: 5 грн. • 2= 10 грн.
Так само (двома діями) розв'язується і задача на обчислення вартості 1 кг, коли дано, що кг коштують 24 карбованці: спершу 24 грн. : 4 = 6 грн. (скільки коштує кг?); потім 6 грн. • 5 = 30рб. (скільки коштує 1кг?).
Якщо треба знайти ціну 1 кг, знаючи, що кг коштує 8 грн., задача розв'язується однією дією (8 грн. • 5 = 40 грн.).
Як і при виведенні правила множення дробів, тут природно виникає питання: чи не можна ці чотири задачі одного й того самого змісту, які відрізняються тільки числовими даними, розв'язувати на підставі того самого правила ? Таке єдине для всіх випадків правило матимемо, якщо введемо нову дію — ділення на дріб, витлумачуючи її як відшукування невідомого цілого за даним його дробом.
Йдучи цим шляхом, учитель знов-таки стоїть перед проблемою: з'ясувати, що ця нова дія є узагальненням давно відомої дії ділення на ціле і що різні задачі, які розв'язувались раніше діленням на ціле, розв'язуються діленням при будь-яких даних. Деяку трудність становлять тут задачі, що вимагають ділення на вміщення (у протилежність тому діленню на частини, про яке була мова досі), наприклад: «Скільки прапорців можна зробити з м
тканини, якщо на кожний треба м?» Не знаючи нічого про ділення дробів, цю задачу можна розв'язати, усуваючи дроби переходом від метрів до міліметрів: маючи м, або 4500 мм, тканини, можна зробити стільки прапорців по м, або 375 мм, скільки разів 375 мм міститься в 4500 мм, тобто 12 прапорців.
Друге можливе розв'язання, що також не вимагає уміння ділити на дріб, ґрунтується на вираженні обох даних величин однаковими, в даному випадку восьмими, частинами метра (тут ми немов вводимо особливу одиницю довжини, а саме м): м становлять 36 восьмих частин метра, а 3 восьмих частини метра містяться в 36 таких же восьмих частинах 36: 3 = 12 раз. Трете найкраще розв'язання дається простим застосуванням правила
ділення дробів: . Констатувавши, що це правило дає тут потрібний результат, причому викладок треба менше, ніж при двох перших способах, учні починають віддавати перевагу йому, але щоб дати правильне пояснення того, що тут потрібне саме ділення, слід відмітити, що мова йде про розв'язування задачі, оберненої такій, яка розв'язується множенням («Скільки треба буде матерії на виготовлення 12 прапорців, якщо на кожний треба м?»).
Кінець кінцем учні переконуються, що треба застосовувати ділення дробів у всіх випадках, коли ясно, що при заміні дробів цілими числами потрібне саме ділення. Як і при вивченні множення дробів, треба ту саму задачу розв'язувати різними способами, то усуваючи дроби, то не роблячи цього. Доведення до повної ясності кожної розгляданої задачі забезпечить розуміння суті справи.
Задачі на всі дії з дробами
Домагаючись всіма способами свідомості в операціях з дробами, не можна забувати і про необхідність вироблення міцних навичок у раціональному виконанні цих операцій. Останній меті служить розв'язування великої кількості задач-прикладів, яких досить подано в збірниках і які легко може скласти і сам учитель. Про такі приклади (з дужками) зазначимо ще раз, що немає потреби витрачати час на операції з дробами, які мають багатоцифрові знаменники: вся і ідейна, і технічна сторона вчення про дроби засвоюється і при роботі з дробами, які мають невеликі знаменники, тим більше, що в практичному житті звичайні дроби з великими знаменниками майже завжди заміняються десятковими. Роботу над обчисленням значень виразів з дробовими даними можна різноманітити двома такими способами: по-перше, знайшовши відповідь, заміняють одне з даних буквою х і знаходять цей х, використовуючи твердження про зв'язок між компонентами і результатом кожної дії; по-друге, можливий перехід від дробів до цілих чисел, якщо прийняти, що всі дроби беруться від деякого великого числа. Так, у задачі, де треба знайти значення виразу
,
можна після одержання звичайним способом відповіді прийняти за одиницю найменше кратне всіх знаменників, а саме 1680, і звести питання до обчислення значення виразу {[(1190 -4- 378) - (385 + 651)]: 6384} • 2880, що дає 240, як і повинно бути ( від
1680 є 240).
Задач-розрахунків життєвого змісту в задачниках наводиться дуже мало, бо на практиці переважно користуються не звичайними, а десятковими дробами, але все ж вони є (наприклад, задачі на порівняння шкал термометрів Цельсія і Реомюра, на площу прямокутника, на довжину кола і площу круга, де приймається , на теплове розширення газу, де коефіцієнт розширення береться рівним , на спільну роботу і т. д.). Більшість задач на звичайні дроби, що наводяться в підручнику, має штучний характер; вони далекі від тих задач, які доводиться розв'язувати в житті, і ставлять виключно цілі тренування, у певних межах безсумнівно корисного. Нагадаємо ще раз, як виграє розв'язання задач від подання умови в наочній формі Так, візьмемо задачу, що зводиться до відшукування двох чисел, які мають суму 44, при умові, що половина одного числа дорівнює другого. Зображаючи шукані числа прямокутниками,

легко бачимо, що перше число містить 3•2 = 6 таких частин, яких у другому 5, а обидва разом 11, і, отже, перше число дорівнює (44 : 11) • 6 = 24, а друге 4 • 5 = 20. Серед задач на застосування звичайних дробів зустрічаються ті самі типові задачі, які розв'язувались на цілі числа: «на припущення», «на заміну», «на рух» і т. д. Але трапляються й задачі з новою
тематикою, істотно пов'язані з дробами.
Типові труднощі і типові помилки, висновки
Вище вже відмічалось те здивування, яке викликає зменшення числа при його множенні на правильний дріб. Подібний же стан має місце і при діленні на правильний дріб. До таких сумнівів, що нерідко виникають в учнів при розв'язуванні задач на дроби, треба ставитись найуважніше: це ознаки самостійної роботи думки, результати бажання не просто механічно, формально, а свідомо засвоїти виучуваний матеріал. В разі ділення, наприклад, числа на , яке виконується за встановленим правилом, учені дістає частку 14; звикнувши зв'язувати ділення із зменшенням у певне число разів, учень дивується. Посилання на обґрунтування правила ділення, на означення цієї дії як оберненої множенню цього здивування не усуває: тут конфлікт між звичайною інтуїцією і повою для учня логікою, який усувається, якщо навести належні наочні приклади. «Скільки порцій хліба по кг
можна одержати з кг?» Треба зробити підрахунок, переходячи до грамів або до восьмих частин кілограма. «Яка довжина відрізка, якого дорівнюють ?» Робиться рисунок, розрахунок ведеться в сантиметрах.«Яка основа прямокутника з висотою в м і площею кв.м?» Тут також потрібен рисунок; розрахунок ведеться у квадратних сантиметрах або в квадратах із стороною в м, яких в 1 кв. м буде 64. Подібними конкретними тлумаченнями абстрактної дії конфлікт між інтуїцією і логікою розв'язується повністю, навіть у найбільш допитливих учнів.
Звичайне класу утруднення — плутання задач на відшукування дробу від цілого (наприклад, знайти від 24 см) і на відшукування цілого за даним його дробом (наприклад, знайти довжину відрізка, якого дорівнюють 24 см). Щоб усунути цю плутанину, рекомендують два прямо протилежні засоби: або розглядати ці дві задачі поряд, що цілком можливо вже на самому початку роботи з дробами, або через досить значний проміжок часу, розглядаючи, наприклад, як це рекомендує програма, першу з цих задач у зв'язку з множенням на дріб, а другу — у зв'язку з діленням на дріб. Успіху можна домогтись обома шляхами, але при неодмінній умові не механічного заучування правил, а свідомого їх засвоєння, що випливає з наочного подання відповідних задач. Безперечно, що кожну з цих задач треба спершу розв'язувати двома діями, а потім уже однією, деякий час вимагати від учнів обох розв'язань, і тільки після повного засвоєння суті справи обмежуватись одним (звичайно, другим), але іноді все ж повертатися до першого розв'язання, запобігаючи формальному застосуванню правил.
На закінчення резюмуємо зміст теми у вигляді таких коротких висновків:
1. Ідейний зміст вчення про звичайні дроби, що дає друге (після запровадження нуля) розширення поняття числа, будучи невеликим щодо обсягу, сприймається дітьми з великим трудом, але все ж повинен бути засвоєний повністю. Механічне запам'ятовування означень і правил без розуміння реального змісту тих понять,
про які йде мова, не має ніякої ціни.
2. Означення і правила повинні випливати з розгляду конкретних задач, узятих з навколишньої звичної дітям дійсності, причому розв'язування повинно бути повністю наочним, правильність його повинна бути зроблена очевидною для дітей незалежно
від будь-яких теоретичних міркувань, що завжди можливо, коли, наприклад, усунути дроби, перейшовши до належно вибраних дрібніших одиниць виміру.
3. Після з'ясування ідейної сторони вчення про дроби повинно йти вироблення міцних навичок в операціях з ними. Для цього розв'язується достатня кількість різноманітних задач на дроби, але без уживання дуже великих знаменників.
4. Поряд з письмовим виконанням дій з дробами треба культивувати і усну лічбу, не допускаючи запису проміжних викладок у найпростіших випадках:
і т. д.
Тут слід відразу записувати результат.
5. Цінні навички у свідомому поводженні з дробами повинні бережно зберігатися в усьому дальшому курсі математики з допомогою розв'язування задач з дробовими даними, повторення відповідних теоретичних відомостей (означень, правил), повторення
як епізодичного попутного (від випадку до випадку, попутно з розв'язуванням задач), так і, систематичного (передбаченого календарним планом роботи).
Повернутись