Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Методичні рекомендації до теми "Ознаки подільності натуральних чисел"

Елементарними відомостями про подільність чисел починається в середній школі вивчення нового для учнів математичного матеріалу. Дуже важливо зразу взяти правильну лінію, домагаючись і повної ясності розуміння всіх нових для учнів термінів, і вміння дати відповідні означення, і розуміння виучуваних тверджень, і точності у їх формулюваннях, а найголовніше — належної єдності теорії і практики. Аж ніяк не намагаючись дати будь-яке означення натурального числа, треба забезпечити, щоб кожний твердо знав, що натуральні числа — це числа 1, 2, 3, 4, ..., які можна писати послідовно, без пропусків, і до того ж без кінця.
Вже на перших заняттях при вживанні терміну «дільник» виникають труднощі з-за двох значень, в яких він вживається: досі учні називали дільником те число, на яке ділять друге дане число, незалежно від того, яка при цьому буде остача; тепер же дільником даного числа називають тільки таке число, на яке дане число можна поділити без остачі. Раніше, виконуючи, наприклад, ділення 18 на 5, ми називали 5 дільником, 3 — остачею, тепер же будемо говорити, що 5 не є дільник числа 18 і що дільниками числа 18 є тільки числа 1, 2, 3, 6, 9, 18. Ясність розуміння і міцне засвоєння цього основного поняття цілком забезпечується складанням таблиці дільників усіх натуральних чисел у деяких межах, початок якої наводиться.

Числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
їх дільники 1 1, 2 1, 3 1,2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2
4, 8, 1,3, 9 1, 2, 5, 10 1,11 1, 2, 3, 4, 6, 12
Колективне складання подібної таблиці завжди проходить з піднесенням.
Робота над складанням таблиці дільників робить дуже природним введення термінів «просте число», «складене число», перший — для позначення чисел, що мають по два і тільки по два дільники, другий — для позначення чисел, що мають по три і більше дільників. Одиниця, будучи числом з одним дільником, не є ні простим числом, ні складеним.
Але на черзі питання про ознаки подільності. Його розв'язання добре поєднати з аналізом таблиці. Які натуральні числа мають дільник 2 і які його не мають? Яка остання цифра в тих і в інших? Чи правильна догадка, що підказується таблицею (на 2 діляться ті і тільки ті числа, в яких остання цифра 0, 2, 4, 6, 8), і за межами таблиці? Почавши із спостережень, приходимо, нарешті, до логічного доведення теореми: на 2 діляться всі числа, в яких остання цифра 0, 2, 4, 6, 8; на 2 не діляться всі числа, в яких остання цифри 1, 3, 5, 7, 9. Це останнє формулювання, трохи довше, ніж звичайне, більш зрозуміле дітям, але треба домогтися, щоб було цілком усвідомлене і коротше («на 2 діляться ті і тільки ті числа, в яких...»).
Далі так само встановлюється й ознака подільності на 5 (спершу аналіз таблиці дільників!). Щоб прийти найкоротшим шляхом до ознак подільності на 4 і 25, можна рекомендувати, не витрачаючи часу на спостереження, почати одразу з того розбивання числа на два доданки, яке застосовувалось при логічному доведенні ознак подільності на 2 і 5 (тільки там число записувалось як сума числа десятків і числа одиниць, а тут його треба подати як суму, складену з його сотень і двоцифрового числа, утворюваного десятками і одиницями). Після цього благополучно проходить і вивчення найважчих ознак подільності — на 3 і 9.
Покінчивши з ознаками подільності, переходять до подання складених чисел у вигляді добутків простих. Тут також добре почати із складання таблиці такого виду: 4 = 2-2 = 22, 6 = 2•3, 8 = 2•2•2 = 23, 9 = 3•3 = 32, 10 = 2•5, 12 = 2 • 2 • 3 = 22 • З, 14= 2 • 7 і т. д.
В учнів не виникає ніякого сумніву в тому, що будь-яке складене число допускає подібне подання у вигляді добутку простих, і спинятися на доведенні можливості і єдиності такого подання не варто. Вся увага тут повинна бути приділена технічній стороні справи (припускається, що розуміння постановки питання вже забезпечене). Навичка в застосуванні звичайного способу розкладу не дуже великих чисел (стовпчиком) дається легко. У простіших випадках рекомендується писати розклад зразу, виконуючи необхідні обчислення в думці. Наприклад, бажаючи розкласти на прості множники число 720 і помічаючи, що воно є добутком 72 на 10 або 8 на 9 і на 10, відразу пишемо 720 = 24 • З2 • 5. Деяку увагу слід приділити важчим випадкам, на зразок такого, коли вимагається розкласти число 3599 (тут два прості дільники: 59 і 61). Справа в тому, що учні, переконавшись, що ділення націло на 2, 3, 5, 7 і 11 неможливе, поспішають з висновком, що дане число— просте. Треба чітко з'ясувати, що необхідно пробувати ділити дане число на всі послідовні прості числа доти, доки в частці не вийде число, менше за дільник, і тільки тоді буде цілком обґрунтований висновок про те, що дане число — просте. Треба заохочувати використання досить обширної таблиці простих чисел, наведеної в підручнику арифметики Кисельова, економлячи час, потрібний для випробувань. Давати для розкладу на прості множники дуже великі числа з великими ж дільниками (наприклад, 10201 = 1012 варто тільки найсильнішим учням в порядку допоміжних індивідуальних завдань.
Навчившись розкладати числа на прості множники, можна повернутись до питання про відшукання всіх дільників даного числа і розібрати більш досконалий спосіб, вказаний у стабільному підручнику (через комбінування простих співмножників усіма можливими способами по два, три, чотири і т. д.). Проте цей спосіб дається нелегко, а далі він не потрібен, і можна цілком задовольнитися вмінням учня знайти всі дільники даного числа послідовними спробами, причому знання простих дільників дозволяє істотно зменшити число спроб.
Нарешті розглядається поняття СД (спільного дільника), НСД (найбільшого спільного дільника), СК (спільного кратного), НСК (найменшого спільного кратного) двох даних чисел з дальшим узагальненням на випадок будь-якого числа даних чисел. Корисно почати з розгляду будь-якого окремого випадку, наприклад, взяти числа 18 і 24, вказати усі дільники кожнго, вибрати їх СД, вказати їх НСД, виписати кілька послідовних кратних для кожного, потім кілька СК, починаючи з НСК.
Повернутись