Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Основні способи задання функції

Якщо кожному значенню змінної x з деякої множини M відповідає одне значення змінної y, то змінну у називають функцією від х. Змінну х у цьому випадку називають аргументом даної функції, множину М - областю визначення функції, а відповідність між х і у-функціональною відповідністю. Аргумент називають ще незалежною змінною, а функцію-залежною змінною, бо значення функції залежить від значення аргументу.
Щоб задати функцію, треба вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна було б найти відповідне значення функції.
Є чотири основних способи задання функції:
1) аналітичний;
2) графічний;
3) табличний;
4) словесний.

Аналітичний спосіб задання функції. При аналітичному способі функція задається за допомогою формули y=f(x), де f(x) - деякий вираз з змінною х.
Наприклад, у = х , , у = 1/x.
При графічному способі задання зображують графік функції у = f(x) в системі координат ХОУ.
Графіком функції називається зображення на координатній площині множини впорядкованих пар. Кожній впорядкованій парі дійсних чисел (х;у) можна поставити відповідну точку на площині. Для цього на площині зображують декартову систему координат ХОУ. Прямі 0Х і 0У перпендикулярні, О – точка перетину цих прямих. ОХ – вісь абсцис , ОУ – вісь ординат, О – початок координат . На кожній із них вибирають правильний напрямок відліку (на осі ОХ – зліва на право, на осі 0У – знизу вверх). Вибирають також одиницю вимірювання ( масштаб ) . Кожна точка А ( х ; у ) на координатній площині має дві координати : x - абсцису, y - ординату . Записується це так: А ( х ; у ).
Таким чином графік функції y = f (x) є множина точок координатної площини ХОУ, абсциси яких є значення аргументу х , а ординати – відповідні значення функції у. Для того щоб множина точок координатної площини було графіком деякої функції, потрібно і достатньо, щоб будь-яка пряма, паралельна осі Оу, перетиналась з цим графіком не більше ніж в одній точці.
Зауваження. Вісі координат розбивають площину на чотири частини – I, II, III, IV чверті або координатні кути.

Табличний спосіб задання функції полягає в тому що відношення між елементами множин D(f) і E(f) задається в формі таблиці.
При цьому способі створюється таблиця , яка показує значення функції у1, у2, …, уn-1, yn для значень аргумента x1, x2, …, xn-1, xn.


xx1x2xn-1xn
yу1у2 уn-1 yn


Прикладами табличного способу задання функції є, наприклад, таблиці квадратів, квадратних коренів, кубів, логарифмів і т.д.
4) При словесному способі задання функції закон, згідно якому значення функції відповідає значення аргументу, формулюється словесно. Так, наприклад, розмір прибуткового податку є функцією заробітної плати платника податку.

Парні і непарні функції

Функція y = f(x) називається парною, якщо для будь-яких х і (-х) із області визначення функції виконується рівність f(-x)= f(x).
Функція у=f(x) називається непарною, якщо для будь-яких х і (-х) із області визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x). Якщо функція y=f(x) така, що хоча б для однієї пари х і (-х) виявилося, що f(-x)-f(x), і хоча б для однієї пари значення х і (-х) виявилось, що f(-x) f(x), то функція називається функцією загального виду.

Приклади парних функцій:
у=х2, у=х4, у=х6,
у=х42+1, у=х62, у= -х84+1,
y=cos x, y=(sin x)/x, y=x tg x.

Приклади непарних функцій:
y=x, y=x3, y=x5,
y=x7, y=x+x19, y=-x13+x7, y= sin x, y=tg x, y= ctg x.

Приклади функцій загального виду:
y=x2+x, y=(x+2)4,
y=(x-1)3, y=x3+x6, y=x-x4.
Із визначення парних і непарних функцій випливає, що область визначення D(f) як парної, так і непарної функції симетрична відносно початку координат, тобто якщо xD(f) (-x)D(f).
Якщо функція у=f(x) є парною, то її графік симетричний відносно осі ординат.
Якщо функція y=f(x) є непарною, то її графік симетричний відносно початку координат.

Приклад 1.
Визначити, чи є дана функція парною, непарною, загального виду:
f(х)=2х4+3х2+7;
Розв’язання.
f(-х)=2(-х)4+3(-х)2+7=2х4+3х2+7= f(х).
Дана функція парна.

Приклад 2.
Визначити, чи є дана функція парною, непарною, загального виду:
f(х)=(х+3)5.
Розв’язання.
f(-х)=(-х+3)5≠f(х)
Дана функція не є ні парною ні непарною. Вона є функцією загального вигляду.

Періодичні функції

Функція у=f(х) називається періодичною, якщо існує число Т 0, таке що для будь-якого х з області визначення функції числа (х-Т) і (х+Т) також належать до цієї області визначення і виконується рівність f(х+Т)=f(х-Т)=f(х).
Кожна періодична функція має нескінчену множину періодів, бо якщо Т – період функції у= f(х), то і число вигляду
kТ – теж є періодом функції (k Z/{0}). На практиці часто основним періодом називають найменший додатній період.
Приклади періодичних функцій: у={х} – дробова частина х, основний період Т=1;
у=sin x, основний період Т=2

Обмеженість функції

Функція називається обмеженою, якщо її область значень обмежена, тобто якщо всі її значення належать певному обмеженому проміжку. Інакше функція є необмеженою.
Приклади функцій, обмежених на всій області визначення:


Монотонність функції

Функція є зростаючою на даному числовому проміжку Х, якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції, тобто для кожного х1, х2 якщо х21, то f(x2)>f(x1).
Функція є спадною на даному числовому проміжку Х, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для кожного х1, х2 якщо х2х1, то f(x2)менше від f(x1).
Функція, тільки зростаюча чи тільки спадна на даному числовому проміжку, називається монотонною на цьому проміжку.
Приклади монотонних функцій на всій області визначення:y = x,y = x3 , y = x5 ,
y = 2x , y = logx, y = arcsin x, y = arcsin x.
Функція у = х2 не є монотонною на всій області визначення, але при х (-; 0) вона є спадною, а при х (0; +) у = х2 є зростаючою. Функція у = sinx не є монотонною на всій області визначення, але всередині кожного з проміжків
вона є зростаючою, а всередині кожного із інтервалів
- спадною.

Проміжки знакосталості і корені функції

Числові проміжки, на яких функція зберігає свій знак ( тобто залишається додатною чи від’ємною), називаються проміжками знакосталості функції. Наприклад, для функції у = х,у>0 при х >0 і у<0 при х<0.
Значення аргументу х є D(f ), при яких функція f(x) = 0 , називаються проміжками або нулями функції . Ясно, що значення аргументу, при яких функція перетворюється в нуль, - це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох . Наприклад, для функції у = х + 2 нулем функції є х = -2 ; для функції у = х2 – 5х + 6 нулями функції є х1= 2 , х2=3.

Точки мінімуму і точки максимуму функції . Екстремум функції .

Точка х0 із області визначення функції у = f (x ) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться такий -окіл точки х0 х0-б0+б), що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність f(x0)< f(x). Записується це так: m = min f(x).
Точка х з області визначення функції у = f (x ) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться б-
окіл точки х0х0-б0+б), що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність f(x0)> f(x). Записується це так: M = max f(x).
Точки мінімуму і точки максимуму називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках називається екстремумом функції ( відповідно мінімумом і максимумом ).

Обернена функція

Кожному значенню хD(f ) рівності y = f (x ) відповідає певне значення уЕ(f). В деяких випадках рівність у = f (x) можна розглядати як таку, яка кожному значенню yE(f) ставить у відповідність певне значення xD(f).

Приклад.
Рівність y = 3x-1 кожному значенню у ставить у відповідність х = (у+1)/3 .
Можна сказати, що рівність у = 3х-1 визначає х як деяку функцію змінної у, тобто х=(у+1)/3.

Нехай функція у = f(x) така, що по кожному допустимому значенні величини у можна встановити одне і тільки одне значення величини х . Тоді ця рівність визначає х як деяку функцію від у. Позначимо цю функцію f: x = f(y). В цьому співвідношенні в ролі аргумента виступає у, а в ролі функції – х. Оскільки х переважно позначає аргумент, то перепишемо залежність x = f(y) у вигляді y = f(x) Функція y = f(x)називається оберненою по відношенню до функції у = f(x).
Для того щоб у функції існувала обернена на даному проміжку, необхідно і достатньо, щоб дана функція була монотонною на цьому проміжку.

Елементарні функції

До основних елементарних функцій відносяться: степенева функція, тригонометричні і обернені тригонометричні ф-ції, показникова функція, логарифмічна функція

Класифікація елементарних функцій:



Позначення деяких поширених функцій:


Позначення функції Означення функцій Назва функції
|х| модуль х
sign x знак х
[x] найбільше число, яке не перевищує х ціла частина х
{x} х-[x] дробова частина х
D(x) функція Діріхле
x+ додатна частина х
x- від'ємна частина х
ex експонента
lg x десятковий логарифм
ln x натуральний логарифм
sh x синус гіперболічний
ch x косинус гіперболічний
th x тангенс гіперболічний
cth x котангенс гіперболічний


Лінійна функція

Лінійною називається функція, яка задається формулою y=kx+b, де х – незалежна змінна, k і b – числа. Якщо b=0, то формула лінійної функції - y=kx – формула прямої пропорційності за умови що k 0. Графіком лінійної функції є пряма.



Лінійна функція виражає залежності між змінними різної природи. Наприклад, залежність шляху, який пройде тіло під час рівномірного руху, від часу: s=s0+vt, де s0 - початковий час, v- стала швидкість.

Основні властивості лінійної функції

1) Область визначення – множина дійсних чисел (якщо не вказано характер залежності між змінними х і у).
2) Область значень - множина дійсних чисел.
3) Якщо k>0, то функція зростає, якщо k<0 – функція спадає.
4) Ф-ція не має екстремумів.
5) Якщо k0, b0, то функція не є ні парною ні непарною.
Якщо k0, b=0, то функція є непарною. Графіком її за цієї умови є пряма, яка проходить через початок координат. Вона симетрична відносно початку координат
Якщо k=0, b - довільне, то лінійна функція є парною. Графіком її за цієї умови є пряма, яка паралельна вісі Ох (або збігається з нею) і тому симетрична відносно Оy.

Обернена пропорційність

Функція виражає обернено пропорційну залежність, де х – незалежна змінна, k 0. Графіком функції є гіпербола, яка складається з двох віток. Якщо k>0, то гіпербола розміщується в І і ІІІ чвертях, якщо k<0, то в ІІ і ІV.



Функція виражає залежності між різними змінними. Наприклад, залежність кількості купленого товару на задану суму грошей від ціни товару.

Властивості функції

1) Область визначення – множина дійсних чисел за винятком нуля, бо х0.
2) Область значень - множина дійсних чисел за винятком нуля, бо у0.
3) Функція не має нулів, бо рівняння 1/х=0 не має коренів, графік цункції не перетинає вісь ОХ.
4) Якщо k>0, то функція спадає на множинах(-;0)і(0;+), якщо k<0 – функція зростає на множинах (-;0)і(0;+).
5) Ф-ція не має екстремумів.
6)Функція непарна. Областю визначення є множина, симетрична відносно точки 0. Графік симетричний відносно початку координат.
Графік ф-ції не перетинає вісі ОУ, але при прямуванні х до нуля вітки гіперболи прямують до вісі ОУ. При збільшенні х вітки гіперболи наближаються до вісі ОХ, ніколи не перетинаючи її. Говорять, що ОХ і ОУ – асимптоти гіперболи: ОХ – вертикальна асимптота, а ОУ – горизонтальна.

Квадратична функція

Функція, задана формулою у=ах2+bх+с, де а, b, с – числа, причому а 0 називається квадратичною. Область визначення квадратичної функції - множина дійсних чисел. Графіком функції є парабола. Якщо а>0, то вітки параболи напрямлені вгору, якщо а<0 – вітками вниз.



За допомогою квадратичної функції виражають залежність площі квадрата від довжини його сторін, або залежність площі круга від його радіуса
Для побудови графіка квадратичної функції її зводять до вигляду у=(х+m)2+p шляхом виділення повного квадрату, m=b/(2а), p=(4ас- b2)/(4а). Точка з координатами (-m; p) є вершиною параболи.

Властивості квадратичної функції у=х2

1) Область визначення – множина дійсних чисел (R).
2) Область значень - [0;+) .
3) Функція має один нуль при х=0.
4) функція спадає на множині (-;0), зростає на множині (0;+).
5) Ф-ція має мінімум при х=0.
6) Функція парна. Графік симетричний відносно вісі ОУ.

Степенева функція з цілим показником, її графік і властивості

Функція задана формулою y=xP , називається степеневою функцією.
1) р = 1 -пряма.
2) р — натуральне, парне, р = 2n.
D(y)=R; E(y)=[0;+).
функція спадає при х (-; 0] і зростає при х [0;);
функція парна, графік симетричний відносно осі Оу. Окремий випадок: у = х2.
3) р — натуральне, непарне, р = 2n + 1.
D(y)=R; E(y)= R;
функція зростає на всій області визначення;
функція непарна, графік симетричний відносно початку координат. Окремий випадок: у =x3.
4) р — ціле, від'ємне, непарне. Нехай р = -n.
Тоді, за означенням степеня з від'ємним показником,



маємо:

функція спадає при x
функція непарна, графік – гіпербола, симетрична відносно початку координат і розміщена у I і III координатних чвертях.
5) р — ціле, від'ємне, парне.



Нехай р = -n
D(y)=
E(y)=

функція зростає при і спадає при ;
функція парна; графік – гіпербола, симетрична відносно осі Оу.

Функція

За допомогою цієї функції виражається, наприклад, залежність сторони квадрата від його площі.

Властивості функції

1) Область визначення – множина [0;+).
2) Область значень - множина [0;+).
3) Функція має один нуль при х=0.
4) функція зростає на множині [0;+).
5) Ф-ція має мінімум при х=0.
6) Функція ні парна ні непарна.

Функція у=|х|



1) Область визначення – множина дійсних чисел (R).
2) Область значень - [0;+).
3) Функція має один нуль при х=0.
4) функція спадає на множині , зростає на множині [0;+).
5) Ф-ція має мінімум при х=0.
6) Функція парна. Графік симетричний відносно вісі ОУ.
Повернутись