Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Поняття множини

Множина – це одне з первісних понять математики. Множину можна уявити як сукупність, зібрання деяких предметів, об'єднаних певною ознакою. Наприклад, множина працівників підприємства, множина натуральних чисел, множина яблук на дереві, множина цифр, множина точок на прямій. Предмети, з яких складається множина називаються елементами множини і позначаються малими латинськими буквами. Для позначення множин використовують великі букви латинського алфавіту, або записані у фігурних дужках елементи множини.
Наприклад, а=4 – елемент множини цифр, В – множина точок прямої, {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} – множина цифр.
Належність елемента множині позначають символом , а неналежність - . Наприклад, точка А належить множині В: АВ, Елемент 22 не належить множині цифр С: 22С.
Скінчена множина містить скінчену кількість елементів, наприклад множина цифр є скінченою. Кількість елементів скінченої множини – число натуральне. Нескінчена множина містить нескінчену кількість елементів. Наприклад множина цілих чисел є нескінченою.
Множина, якій не належить жоден елемент – порожня множина (позначається – Ø).
Якщо множина С складається з деяких елементів множини В то вона називається підмножиною множини В: СВ (множина С міститься в множині В, або С - підмножина множини В). Якщо С може містити всі елементи В то використовують знак строгого включення: СВ.
Порожня множина є підмножиною кожної множини: Ø В.
Дві множини рівні, якщо вони містять однакові елементи.
Операції над множинами:
1. Переріз множин А і В – це множина С, яка складається з усіх тих і лише тих елементів, які належать кожній з множин А і В. Позначають С=АВ.
2. Об'єднання (сума) множин А і В – це множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В і тільки з них. Позначають С=АВ.
3. Різниця множин А і В– це множина С, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В. Позначають С=А\В.

Елементи комбінаторики

Комбінаторика – це розділ математики, який займається методами розв'язання комбінаторних задач.

Перестановки. Впорядковані множини – це скінчені множини, для яких є істотнім порядок елементів. У відповідність кожному елементу множини можна поставити натуральне число. Наприклад, числові послідовності – впорядковані множини, А множина яблук на дереві – не є впорядкована множина. Для позначення впорядкованих множин використовують круглі дужки, а невпорядкованих - фігурні. Перестановка – це будь-яка впорядкована множина з n елементів. Перестановки відрізняють між собою порядком елементів. Наприклад, з множини А={0,1,2} можна утворити шість перестановок: (0,1,2), (1,2,0), (2,0,1), (0,2,1), (1,0,2), (2,1,0).
Кількість перестановок з n елементів позначається Рn:


Задача 1.
Скільки трицифрових чисел можна утворити з допомогою трьох різних цифр, відмінних від 0.
Розв'язання.


Задача 2.
Скількома способами можна розмістити 6 учнів за 6 партами по одному за партою?
Розв'язання.


Розміщення. Будь-яка впорядкована підмножина з m елементів даної множини М, яка містить n елементів, де , називається розміщенням з n елементів по m.


Задача 3.
Скільки різних послідовностей із 3 букв можна скласти?
Розв'язання.
Послідовності букв відрізняються між собою або буквами, або порядком їх розміщення. Отже слід знайти число розміщень з 33 елементів по 3 (вважаємо, що в алфавіті 33 букви).

Комбінація з n елементів по n – це будь-яка підмножина з елементів m елементів даної множини М, яка містить n елементів.
Кількість комбінацій з n по m ():

Властивості кількості сполучень:

Рекурентна формула для кількості сполучень:


Задача 4.

Скількома різними способами можна вибрати з 30 чоловік делегацію в складі 3 осіб?
Розв'язання.
Різними вважатимемо ті делегації, які відрізняються хоча б однією особою. Кількість комбінацій з 30 по 3:


Трикутник Паскаля



Формула бінома Ньютона


Двочлен а+b називають біномом.
Коефіцієнти розкладу (а+b)n збігаються з n-м рядком трикутника Паскаля, тому:


Приклад
Знайти восьмий член розкладу (х-а)12.
Розв'язування
(х-а)12=(х+(-а))12.
За формулою бінома Ньютона маємо:
Повернутись