Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Числові нерівності (основні поняття)

Два числових чи буквенні математичні вирази, об'єднані знаками > або < (а також ≤ або ≥ ) називають нерівністю. > або < називають знаками строгої нерівності, а ≥ або ≤ - знаками нестрогої нерівності. Вираз, який записаний ліворуч чи праворуч від знака нерівності, називається відповідно лівою чи правою частиною нерівності. Наприклад, лівою частиною нерівності 4х+2<6 є вираз 4х+2, а правою – число 6. Якщо обидві частини нерівності - числа, то нерівність числова. Такі нерівності бувають правильні і неправильні. Наприклад, 2<6 – правильна числова нерівність, а 3>7 – неправильна числова нерівність.

Властивості числових нерівностей

Нерівності виду аd, де а,b,c,d – довільні дійсні числа, мають такі властивості:
1) Якщо аменше за b і b менше за c, то а менше за c.
2) Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне і те саме число, то отримаємо правильну нерівність
3) Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне і те саме від'ємне число і знак нерівності змінити на протилежний, то отримаємо правильну нерівність
4) Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад, якщо а менше за b і d менше за c, то а+d менше за b+c.
5) Нерівності з однаковими знаками можна почленно множити, якщо їх ліві і праві частини – додатні числа. Наприклад, якщо а менше за b і d менше за c і числа а, b, d, c – додатні, то аd менше за bc.

Нерівності з одною змінною

Нерівністю з одною змінною називається нерівність, яка містить тільки одну незалежну змінну. Нерівність із змінною для одних значень змінної може бути правильною, а для інших – ні. Кажуть, що ті значення змінної, при яких вона правильна, задовольняють нерівність, а ті при яких вона неправильна – не задовольняють нерівність. Наприклад, числа 1, 2, 3 – не задовольняють нерівність 4х+2<6, а числа -2, -5 – задовольняють.
Розв′язком нерівності з однією змінною називається значення змінної, яке задовольняє дану нерівність. Розв′язати нерівність – означає знайти всі її розв′язки, або показати що їх немає. Розв′язують нерівність, замінюючи її іншими нерівностями, простішими і рівносильними їй. Дві нерівності рівносильні, якщо вони мають однакові розв′язки, тобто якщо кожний розв′язок одної нерівності задовольняє другу і навпаки.

Властивості нерівностей з одною змінною:

1) Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок, змінивши йому знак на протилежний, то дістанемо рівносильну нерівність.
2) Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на те саме додатне число, то дістанемо рівносильну нерівність.
3) Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на те саме від'ємне число і знак нерівності змінимо на протилежний, то дістанемо рівносильну нерівність.

Користуючись цими властивостями нерівності можна розв′язувати як рівняння.

Розв′язування лінійних нерівностей

Лінійною нерівністю з одною змінною називається нерівність вигляду ах>с (або ах<с ах≤с ах≥с), де х – змінна, а і с – дійсні числа.

Приклад 1. Розв′язати нерівність 5х<2х+15
Розв′язання.
Перенесемо доданок 2х у ліву частину нерівності:
5х-2х <15.
Зведемо подібні члени:
3х<15.
Поділимо обидві частини нерівності на 3:
х<5.
Відповідь. Нерівність задовольняє кожне дійсне число, менше від 5.
Множини розв′язків нерівностей можна записувати у вигляді проміжків. Наприклад, множину всіх дійсних чисел, менших від 5, називають проміжком від мінус нескінченості до 5 і позначають (- ;5), а множину всіх дійсних чисел, більших або рівних від , називають проміжком від 3 до нескінченості і позначають [3; ).

Приклад 2. Розв′язати нерівність 7(2-х)≤3х+44
Розв′язання.
14-7х≤3х+44,
-7х-3х≤-14+44,
-10х≤30,
х≥-3
Відповідь. Нерівність задовольняє кожне дійсне число, менше від -3.

Зауваження.
Множини розв′язків нерівностей можна записувати у вигляді проміжків. Наприклад, множину всіх дійсних чисел, менших від 5, називають проміжком від мінус нескінченості до 5 і позначають (- ;5), а множину всіх дійсних чисел, більших або рівних від , називають проміжком від 3 до нескінченості і позначають [3;∞).

Приклад 3. Розв′язати нерівність

Розв′язання.

Відповідь:
Приклад 4. Розв′язати нерівність

Розв′язання.
4,2+2х>3(1,5х-1,1);
4,2+2х>4,5х-3,3;
2х-4,5х >-3,3-4,2;
-2,5х>-7,5;
х<3.

Системи та сукупності нерівностей з одною змінною

Декілька нерівностей з одною змінною утворюють систему нерівностей, якщо завдання полягає у відшуканні всіх тих значень змінної, які задовольняють одночасно кожну з нерівностей.
Значення змінної, при якому кожна з нерівностей системи перетворюється в правильну числову нерівність, називається розв’язком системи нерівностей.
Декілька нерівностей з одною змінною утворюють сукупність нерівностей, якщо завдання полягає у відшуканні всіх тих значень змінної, кожне з яких задовольняє по крайній мірі одну нерівність.
Очевидно, що розв’язком системи нерівностей є перетин розв’язків нерівностей, які утворюють систему, а розв’язком сукупності нерівностей є об’єднання розв’язків нерівностей, які утворюють сукупність.
Дві системи нерівностей називаються рівносильними, якщо вони мають спільну множину розв’язків, які задовольняють цим нерівностям. Рівносильність позначається значком

Геометрична інтерпретація нерівностей

Розв’язок нерівності можна відобразити графічно на числовій вісі:
х>а

Розв’язуючи систему нерівностей, можна зображати розв’язки на двох числових осях, або на одній, наносячи штриховки в різні сторони, або зверху і знизу.

Приклад1. Розв′язати систему нерівностей

Розв′язання.
Замінимо поступово кожну рівність простішою, рівносильною попередній:


Зобразимо розв′язки системи нерівностей графічно:

Відповідь:

Приклад2. Розв′язати систему нерівностей

Розв′язання.
Замінимо поступово кожну рівність простішою, рівносильною попередній:


Зобразимо розв′язки системи нерівностей графічно:

Відповідь:

Приклад3. Розв′язати нерівність:
(х-2)(х+5)<0.
Розв′язання.
Добуток двох чисел від’ємний тоді, коли одне з цих чисел від’ємне, а друге додатне. Отже, розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування двох систем нерівностей:
і

Приклад4. Розв′язати нерівність:

Розв′язання.
Значення дробу від’ємне тоді, коли чисельник від’ємний а знаменник додатній, або навпаки. Отже, розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування двох систем нерівностей:
і

Нерівності другого степеня

Нерівністю другого степеня з одним невідомим називається алгебраїчна нерівність, яка має вигляд

Або будь-яка інша нерівність, яка може бути зведена до такої методом розкривання дужок, перенесення членів з одної частини в іншу, зведення подібних, множенням на -1.
Якщо позначити корені тричлена х1, х212) у випадку коли вони дійсні, то всі випадки розв′язування нерівності другого степеня можна оформити у вигляді таблиці:

b2-4ас а Розв′язки х нерівності
>0 >0 ∞- <х< х1 і х2<х<+∞

>0 <0 х1<х< х2
<0 >0 Довільне х
<0 <0 розв′язків немає
=0 >0 Довільне х крім (– b/(2а))
=0 <0 розв′язків немає


На практиці зручніше не користуватися таблицею, а від нерівності

переходити до нерівності (х-х1)(х-х2)>0 і далі використовувати той факт, що добуток двох чисел додатній, якщо співмножники мають однакові знаки і добуток від′ємний, якщо співмножники мають різні знаки.

Приклад1. Розв′язати нерівність:

Розв′язання.

Корені тричлена :
х1=2, х2=3.
Тому
=(х-2)(х-3);
(х-2)(х-3) >0
Добуток двох чисел додатній тоді, коли обидва числа від’ємні, або обидва додатні.
Отже, розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування двох систем нерівностей:
i
i
Відповідь:

Нерівності з абсолютними величинами

Розглянемо нерівності вигляду:

|f(х)|<а і |f(х)|>b,

Де а і b дійсні невід’ємні числа, а f(х) – функція одного аргумента.

1. Якщо |f(х)|<а, то за означенням абсолютної величини,
f(х)<а, якщо f(х)≥0, або 0≤f(х)<а
і
- f(х)<а, якщо f(х)≤0, або а< f(х)≤0.

Звідки випливає, що дана нерівність еквівалентна системі нерівностей:
- а< f(х)<а.

2. Якщо |f(х)| > b, то за означенням абсолютної величини,
f(х)>b, якщо f(х)≥0, або f(х)>b
і
- f(х)>b, якщо f(х)≤0, або f(х)<- b
Звідки випливає, що дана нерівність еквівалентна сукупності нерівностей:
f(х) > b і f(х) < - b.

Приклад1.
Розв′язати нерівність:
|2х-5|<7.
Розв′язання.
Переходимо до системи



Перевірка:
1. При х=-1 |2х-5|=|2(-1)-5|=7.
При х=6 |2х-5|=|2·6-5|=7.
2. Перевіримо для довільного х з проміжку (-1;6)
При х=0 |2х-5|=|2·0-5|=5<7.(нерівність правильна)
Відповідь:

Приклад2. Розв′язати нерівність:
|2х-5|<-7.
Розв′язання.
Оскільки |2х-5|0, то дана нерівність правильна для будь-якого дійсного х
Відповідь:

Приклад3. Розв′язати нерівність:
х2>|5х+6|.
Розв′язання.
Оскільки
|5х+6|=
то дану нерівність можна замінити сукупністю систем нерівностей:
а)
б)
Розв′яжемо окремо кожну систему:
а)


б)

Відповідь:

Приклад4. Розв′язати нерівність:
|х+2|+|х-2|<6.
Розв′язання.
Застосуємо метод інтервалів. Вирази під знаком модуля перетворюються в нуль
в точках х=-2, х=2. Ці точки розбивають числову вісь на три інтервали:
1. (-∞;-2);
2. [-2;2];
3) (2;+∞).
За означенням модуля на першому інтервалі маємо:
|х+2|=-(х+2)=-х-2;
|х-2|=-(х-2)=-х+2;
Отже на першому інтервалі дана нерівність рівносильна нерівності:
-х-2-х+2<6;
-2х<6;
х>-3.
Оскільки розглядаємо інтервал (-∞;-2) , то в множину розв’язків входить лише
множина (-3;-2).
Отже, множина (-3;-2) є розв’язком даної нерівності на першому інтервалі.
За означенням модуля на другому інтервалі [-2;2];маємо:
|х+2|=(х+2);
|х-2|=-(х-2)=-х+2;
Отже на другому інтервалі дана нерівність рівносильна нерівності:
х+2-х+2<6;
4<6 – правильна числова рівність, тому всі значення змінної з цього відрізка належать множині розв’язків.
Отже, множина [-2;2] є розв’язком даної нерівності на другому інтервалі.
За означенням модуля на третьому інтервалі маємо:
|х+2|=(х+2);
|х-2|=(х-2);
Отже на третьому інтервалі дана нерівність рівносильна нерівності:
х+2+х-2<6;
2х<6;
х<3.
Оскільки розглядаємо інтервал (2;+∞), то в множину розв’язків входить лише
множина (2;3).
Отже, множина (2;3)є розв’язком даної нерівності на першому інтервалі.
Об′єднаємо отримані розв’язки. Отримаємо, що множина (-3;3) є розв’язком даної нерівності.
Відповідь: (-3;3)

Приклад5. Розв′язати нерівність:

Розв′язання.
Дана нерівність рівносильна сукупності нерівностей:

і

Розв′язуючи першу нерівність, маємо:

Розв′язуючи другу нерівність, маємо:

Об′єднаємо отримані розв’язки. Отримаємо, що множина є розв’язком даної нерівності.
Відповідь:

Справедливі нерівності:
1) Якщо |a| менше за с , то –с менше за a і а менше за с.
2) Якщо –с менше за a і а менше за с, то |a| менше за с.
3)
4)


Співвідношення середнього арифметичного і середнього геометричного

Середнім геометричним чисел а1, а2, … аn називається
Середнім арифметичним чисел а1, а2, … аn називається
Середнє геометричне декількох додатніх чисел не перевищує їх середнього арифметичного, тобто


Розв′язування нерівностей методом інтервалів

Нерівності вигляду: х(х+1)≥0, ,(х-1)(х-3)(х-5)≥0,зручно розв’язувати методом інтервалів.
Основою методу інтервалів є властивість двочлена х-а: точка х=а ділить числову вісь на дві частини – справа від точки а двочлен х-а>0, а зліва від точки а х-а<0.
Нехай потрібно розв’язати нерівність (х-а1)(х-а2)…(х-аn)>0, де а1, а2, … аn числа, серед яких немає рівних між собою, причому такі, що а1<а2< … <аn. Щоб розв’язати таку нерівність методом інтервалів потрібно:
1. На числовій вісі позначити числа а1, а2, … аn ;
2. На інтервалі справа від найбільшого з них , тобто числа аn поставити знак «+», а на наступному зліва інтервалі – знак «-», далі знову «+» і так далі.
3. За множину всіх розв’язків нерівності (х-а1)(х-а2)…(х-аn)>0 взяти об’єднання всіх проміжків, на яких поставлено знак «+».

Повернутись