Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Кути та їх вимірювання
Кут – це геометрична фігура, яка складається з двох променів, які виходять з одно точки. Точка, з якої виходять промені називається вершиною кута, а промені – його сторонами. Кут позначають символом . Наприклад АВС, або α .
Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо початкової точки 0. Промінь можна обертати навколо його початкової точки в двох напрямках - за годинниковою стрілкою (від′ємний напрямок обертання) і проти годинникової стрілки (додатний напрямок обертання). Відповідно кути і дуги, утворені обертанням променя за годинниковою стрілкою називаються від′ємними, а проти годинникової стрілки – додатними.
Якщо сторони кута утворюють пряму, то такий кут розгорнутий. Якщо промінь робить повне обертання навколо своєї початкової точки, то кут називається повним.
Вісі абсцис(Ох) і ординат(Оу) ділять повний кут(коло) на 4 чверті (І, ІІ, ІІІ, ІV), або 4 квадранта.

Кути вимірюються в градусах і радіанах. Кут 1 градус – це кут, який опише промінь, обернувшись на 1/360 частину повного обороту навколо своєї початкової точки проти годинникової стрілки (позначаємо 1°). 1/60 частина градуса – мінута (позначаємо 1′ ). 1/60 частина мінути – секунда (позначаємо 1′′).
Центральним кутом в колі називається кут, вершина якого є в центром кола.
Кут 1 радіан – це центральний кут, з такою дугою кола, довжина якого дорівнює радіусу цього кола.

Слово «радіан» переважно не пишуть. Тобто запис α=1 означає, що кут α дорівнює 1 радіан.
Зв′язок між радіанною і градусною мірами кута
Оскільки довжина кола 2πR, то повний кут дорівнює (2πR) / R =2π радіан. В градусах повний кут дорівнює 360° . Тому 2π =360°. Звідси 1 радіан=360°/(2π )=180°/π =57°17′45′′.
Таким чином із співвідношення π=180° маємо 1=180°/π , 1°=π /180.
Приклад 1. Виразити в радіанах кут 30°.
Розв′язання.
30°=30•=
Приклад 2. Виразити в градусах кут величиною 2 радіана.
2=2•=~(114,6)°

Таблиця переходу від градусів до радіанів найпоширеніших кутів:

Градуси 30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
Радіани02


Означення тригонометричний функцій


Розглянемо тригонометричні функції строгого кута, які можна ввести з допомогою прямокутного трикутника.

Нехай в прямокутному трикутнику АСВ:
АСВ=90°,
ВАС=α,
|BC|=a,
|AC|=b,
|AB|=c.
- відношення протилежного катета до гіпотенузи.
- відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
- відношення протилежного катета до прилеглого.
- відношення прилеглого катета до протилежного.
З останніх двох рівностей випливає:



Розглянемо тригонометричні функції довільних значень аргументу.
Нехай маємо прямокутну систему координат і коло одиничного радіуса з центром в початку координат (одиничне або тригонометричне коло). Відкладемо на вісі Ох справа від початку координат на колі точку М0: М0(1;0). Радіус ОМ0 назвемо початковим радіусом. При повороті початкового радіуса на ОМ0 навколо центра О на кут α, то точка М0(1;0) перейде в точку М (х;у).

Синусом кута α називається відношення ординати точки Мα до довжини радіуса.

Косинусом кута α називається відношення абсциси точки Мα до довжини радіуса.

Оскільки R=1, то , .
х і у можна розглядати як проекції на вісі координат одиничного вектора
(х;у).
Таким чином можна вважати, що синус кута α дорівнює ординаті, а косинус – абсцисі вектора одиничної довжини, який виходить з початку координат і утворює з додатнім напрямком вісі Ох кут α. Оскільки координати будь-якої точки Мα(х;у) одиничного кола задовiльняють рівняння х22=1, то
.
Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю.
Тангенсом кута α називається відношення ординати точки Мα до її абсциси.

Котангенсом кута α називається відношення абсциси точки Мα до її ординати.

Знаки тригонометричних функцій sin α, cos α, tg α, ctg α в різних чвертях:




Значення тригонометричних функцій для деяких значень аргументу:


Символ ∞(нескінченість)означає, що tgα чи ctgα при відповідних значеннях аргумента не визначені і набувають як завгодно великих за модулем значень.
Секансом кута α називають величину, обернену до cosα :
sec α=
Косекансом кута α називають величину, обернену до sin α :
cosec α = .

Тригонометричні тотожності



В другій формулі знак вибирають в залежності від того, в якій чверті закінчується кут α: в І чи ІІ чвертях – знак «+», в ІІІ чи ІV – знак «-». В третій формулі: в І чи ІV чвертях – знак «+», в ІІ чи ІІІ – знак «-».

Приклад 1. Визначити знак виразу sin 2.

Розв'язання.

Оскільки π=3.14, то π/2<2<π. Отже кут 2 радіани закінчується в ІІ чверті, тому sin2>0.

Приклад 2. Обчислити значення виразу 1/2 sin180°-√3 cos180° +sec180°+tg60°.

Розв'язання.

1/2 sin180°-√3 cos180° +sec180°+tg60°=1/2·0-√3(-1)+1/(-1)+ √3=2√3-1.

Приклад 3. Обчислити cos α, tg α, ctg α, якщо sin α=4/5, 90°<α<180°.

Розв'язання.



Властивості тригонометричних функцій

Парність і непарність тригонометричних функцій.

Функції cos α, sec α є парними, а sin α, tg α, cosec α i ctg α- непарними, тобто

cos(-α) = cos α;

sin(-α) = - sin α;

tg (-α) = - tg α;

ctg(-α) = - ctg α;

sec(-α) = sec α;

cosec(-α) = - cosec α.

Приклад 1.Дослідити функцію у = sin х · cos х на парність:

Розв'язання.

у(-х) = sin (-х) · cos (-х) = - sin (х) · cos (х)=-у(х).

Отже, дана функція непарна.

Приклад 2.Дослідити функцію у = sin х - cos х на парність:

Розв'язання.

у(-х) = sin (-х) - cos (-х) = - sin (х) - cos (х).

у(-х)≠у(х),

у(-х)≠-у(х).

Отже, дана функція ні парна ні непарна.

Періодичність тригонометричних функцій.

Для періодичної функції y=f(x):
f(x+T)=f(x),
де T – відмінне від нуля число, яке називається періодом функції. Кожна періодична функція має нескінчену кількість періодів, бо якщо T – період, то nT , де
– теж період. Основним періодом називається найменший додатній період.

Для тригонометричних функцій cos х, sec х , а sin х, cosec х основним періодом є Т=360°=2.

Для тригонометричних функцій tg х, ctg х основним періодом є Т=180°=π.

Приклад 3.Обчислити cos 405° .

Розв'язання.
cos 405° = cos (360°+45°) = cos 45° =

Приклад 4.Обчислити sin 1020° .

Розв'язання.

sin 1020° = sin (360°·3-60°) = sin 60° =

Приклад 5.
Визначити період функції у=5 sin2х+ 2ctg 3х
Розв'язання.
Період функції у =5 sin2х дорівнює , а період функції у = 2ctg 3х дорівнює . Найменшим число, при діленні якого на π і на отримуємо цілі числа, тому π є періодом даної функції.

Приклад 6.
Визначити період функції у=3 sin х+8 tg (х+5).
Розв'язання.
Період функції у =3 sin х дорівнює , а період функції у = 8 tg(х+5) дорівнює π. Не існує такого числа, при діленні якого на 2 і на π одночасно би отримували цілі числа, тому дана функція періоду не має.

Формули зведення

Формулами зведення називають співвідношення, з допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів
Повернутись