Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Рівності і їх властивості. Тотожності
Два математичних вирази, об'єднані значком «=»(дорівнює), утворюють рівність.
х=у - це рівність, х – ліва частина рівності, у – права частина рівності.
Ці вирази (обидва чи один) можуть містити змінні або бути числовими. Числова рівність може бути правильною або неправильною. Наприклад, 3=2/3 – неправильна числова рівність, 3=3•1 – правильна числова рівність. х+у=2 – рівність із змінними. Змінні х і у в рівності можуть набувати різних числових значень. Якщо, наприклад, х=2, у=0, то 2+0 – правильна числова рівність, а якщо х=2, у=2, 2+2=2 - неправильна числова рівність.
Множина значень змінних, для яких ліва і права частина рівності мають зміст(визначені), називається областю визначення рівності і позначається D.
Наприклад, рівність
визначена для будь-якого значення х крім х=1.
Записують D(х)={х/ х R \{1} }.
Властивості рівностей:
1) х=у у=х;
2) х=у, у=z х=z;
3) х=у х+z=у+z;
4) х=у х•z=у•z;
5) х=у

Тотожність – це рівність, яка правильна для будь-яких значень змінних з області визначення рівності.

Приклади тотожностей:

7-2=4+1;

(х-1)22-2х+1;

а22=(а+с)(а-с).

Рівняння. Класифікація рівнянь. Рівносильні рівняння

Рівність, яка містить невідомі числа, які позначені буквами, називається рівнянням. В залежності від кількості невідомих бувають рівняння з одною змінною, рівняння з двома змінними і т.д. Множина значень невідомих, які задовольнять рівняння, тобто перетворюють рівняння в тотожність, називається розв’язком рівняння. У випадку рівняння з одною змінною розв’язок називають коренем. Розв’язати рівняння – означає знайти множину всіх розв’язків цього рівняння, або довести, що вони не існують. Множина розв’язків може бути скінченою і нескінченою. Множина всіх значень змінної, при яких визначена ліва і права частина рівняння називається областю визначення рівняння і позначається D.

Рівняння називається алгебраїчним, якщо обидві його частини є многочленами. Загальний вигляд алгебраїчного рівняння можна записати так:

а0хn+a1xn-1+…+an=0,
де n – натуральне число, яке називається степенем рівняння. Якщо алгебраїчне рівняння має декілька невідомих, то переносячи всі його члени в одну частину і зводячи подібні, отримаємо многочлен, степінь якого покаже степінь рівняння.

Якщо обидві частини рівняння є алгебраїчними виразами, але хоча би в одному доданку є операція ділення на вираз, який містить невідоме, або корінь виразу з невідомим, то таке рівняння називається в першому випадку – дробовим рівнянням , а в другому ірраціональним рівнянням. Розв’язування таких рівнянь зводиться до розв’язування алгебраїчних рівнянь.

Якщо серед членів рівняння є такі, які містять невідоме в ірраціональному степені або в показнику, або під значком логарифма, або під знаком тригонометричної функції, то рівняння називають трансцендентним рівнянням.

Приклади:

а) алгебраїчні рівняння: х2у3-xу2-2=0; х2-7х+12=0;

б) дробове рівняння:
в) ірраціональні рівняння:
г) трансцендентні рівняння:
Якщо будь-який розв’язок одного рівняння є розв’язком другого і, навпаки, будь-який розв’язок другого рівняння є розв’язком першого, то такі рівняння називають рівносильними рівняннями або еквівалентними рівняннями.

Приклади.
а) рівносильні рівняння: х+у=1 і 2х+2у=2;
б) нерівносильні рівняння:
бо перше рівняння має корені 8 і -1, а друге – тільки один корів, який дорівнює 8.

Перетворення, при яких рівняння переходить в рівносильне йому рівняння:

1) Якщо в рівнянні поміняти місцями ліву і праву частину, то отримаємо рівняння, рівносильне даному;

2) Якщо в рівнянні будь-який доданок перенести з одної частини рівняння в другу, змінивши йому знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному;

3) Якщо до обох частин рівняння додати однаковий многочлен (або число) то отримане рівняння буде рівносильне даному. Але якщо до обох частин рівняння додати 1/х, то отримаємо нерівносильні рівняння.

4)Якщо обидві частини рівняння помножити, чи розділити на одне і те ж відмінне від нуля число, то отримане рівняння буде рівносильне даному. Але якщо обидві частини рівняння помножити чи поділити на многочлен, то вже не отримаємо рівносильних рівнянь.

Два чи декілька рівнянь є сумісними рівняннями, якщо вони мають хоча б один спільний розв′язок.

Лінійні рівняння і рівняння, які зводяться до лінійних

Лінійним рівнянням з одною змінною х називається рівняння вигляду
а·x=b,

де а і b – дані числа, а називають коефіцієнтом рівняння при змінній х, а b – вільним членом рівняння.

Для лінійного рівняння можливі три випадки:

1) а0, тоді а·x=b
- єдиний корінь рівняння;

2) а=0, b=0, тоді рівняння а·x=b набуває вигляду 0·x=0, що правильно для будь-якого х, тобто коренем рівняння в цьому випадку є будь-яке дійсне число;

3) а=0, b0
тоді рівняння а·x=b набуває вигляду 0·x= b. Таке рівняння коренів не має.

Приклад.

2х=4;

х=4/2;

х=2.

Щоб звести рівняння до лінійного, потрібно:

1) звільнити рівняння від дробів;

2) розкрити дужки;

3) перенести всі члени, які містять невідоме, в одну частину рівняння, а числа – в другу;

4) звести подібні;

Приклад1.

Приклад2.


Квадратні рівняння

Рівняння вигляду ах2+bх+с=0 (а0) називається квадратним рівнянням з одною змінною, а – коефіцієнт при х2 (перший коефіцієнт), b - коефіцієнт при х (другий коефіцієнт), с – вільний член.

Якщо b0, с0, то квадратне рівняння називається повним квадратним рівнянням. Якщо а=1, то квадратне рівняння називається зведеним, якщо а1, - незведеним. Незведене квадратне рівняння можна зробити зведеним, поділивши обидві його частини на коефіцієнт а0.

Квадратне рівняння має два корені. Щоб визначити які саме корені має квадратне рівняння, потрібно обчислити значення виразу b2-4ас – дискримінант квадратного рівняння.

Якщо b2-4ас>0, то квадратне рівняння має два різних дійсних корені, які обчислюються за формулою:

Якщо b2-4ас=0, то квадратне рівняння має два однакових дійсних корені, які обчислюються за формулою:

Якщо b2-4ас <0, то квадратне рівняння дійсних коренів не має.

Приклади.

Розв′язати рівняння:
а) 3х2-5х+2=0;
б) х2+6х+9=0;
в) 5х2-х+1=0.

Розв′язання.

а) D=25-24=1, D>0,

Відповідь. х1=1, х2=2/3.

б) D=36-36=0,

Відповідь. х=-3.

в) D=1-20=-19, D<0.

Відповідь. Коренів немає.

Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Приклад.

Розв′язати рівняння х2+12x+11=0.

Розв′язання (усне).

Якщо рівняння має цілі корені, то їх добуток дорівнює 11. Це можуть бути числа 1 і 11, або -1 і -11. Другий коефіцієнт рівняння додатний, тому корені від′ємні.

Відповідь. х1=-1, х2=-11.

Неповні квадратні рівняння

Якщо другий коефіцієнт b або вільний член с квадратного рівняння дорівнюють нулю, то квадратне рівняння ах2+bх+с=0 називається неповним. Для обчислення коренів неповного квадратного рівняння звичайно не користуються вище приведеними формулами, бо неповні квадратні рівняння простіше розв’язувати методом розкладання їх лівої частини на лінійні множники.

Отже, розглянемо розв’язування рівняння ах2+bх+с=0 у випадках, коли 1) с=0; 2) b=0; 3)b=с=0.

1) с=0;

ах2+bх=0;

х(ах+ b)=0;

х1=0, х2=
2) b=0;
ах2+с=0;
ах2=-с;
х2=
якщо
якщо
то рівняння дійсних коренів не має.

3) b=с=0;
ах2=0;
х1=х2=0 (а0).

Приклад 1. Розв’язати рівняння 2х2+5х=0.

Розв′язання
.

2+5х=0;
х(2х+5)=0;
х1=0, х2=-5/2.

Відповідь: х1=0, х2=-5/2.

Приклад 2
. Розв’язати рівняння 3х2-27=0.

Розв′язання.

2-27=0;
2=27;
х2=9;
х1=3, х2=-3.

Відповідь: х1=3, х2=-3.

Приклад 3
.

Розв’язати рівняння 3х2+11=0.

Розв′язання.

2+11=0;
2=-11;
х2=-11/3;

Відповідь: рівняння дійсних розв’язків не має.

Двочленні рівняння

Алгебраїчне рівняння називається двочленним рівнянням, якщо воно має вигляд

хn-а=0, де n - натуральне число.

В найпростішому випадку при а=1 маємо хn-1=0. Тоді

а) при n=1 маємо
х-1=0;
х=1;
б) при n=2 маємо
х2-1=0;
(х-1)(х+1)=0;
х=1, х=-1;

в) при n=3 маємо
х3-1=0;
(х-1)(х2+х+1)=0;
х=1;

В загальному випадку:
1) Якщо а>0, то
а) для будь-якого непарного n (n=2k-1, k – натуральне) двочленне рівняння має тільки один дійсний корінь

б) для будь-якого парного n (n=2k, k – натуральне) двочленне рівняння має два дійсні корені

2) Якщо а=0, то двочленне рівняння має тільки один корінь х=0;

3) Якщо а<0, то

а) для будь-якого непарного n (n=2k-1, k – натуральне) двочленне рівняння має тільки один дійсний корінь
б) для будь-якого парного n (n=2k, k – натуральне) двочленне рівняння не має дійсних коренів

Приклад1. Розв'язати рівняння у4-16=0.

Розв'язання.

у4-16=0;

х1=2, х2=-2;

Приклад2. Розв'язати рівняння у3-125=0.

Розв'язання.

у3-125=0;

х=5;

Приклад3. Розв'язати рівняння у5-12=0.

Розв'язання.

у5-12=0;

Приклад4. Розв'язати рівняння у2+9=0.

Розв'язання.

у2+9=0;
у2=-9;

Рівняння дійсних розв'язків не має.

Приклад5. Розв'язати рівняння у6+64=0.

Розв'язання.

у6+64=0;
у6=-64;

Рівняння дійсних розв'язків не має.

Приклад6. Розв'язати рівняння у3=0.

Розв'язання.

у3=0;
у=0;
Повернутись