Новини
Користувач
Пароль
Реєстрація
Зворотній зв’язок
Інструкція
Для учнів
Для вчителів
.
Як ви використовуєте Інтернет у навчанні?
шукаю потрібну інформацію
користуюсь перекладачем
спілкуюсь на форумах
проходжу онлайн-тестування
Одночлен і многочлен

Одночлен – це вираз, який може містити тільки дві дії: множення змінних і чисел, і піднесення змінних до невід’ємного степеня. Приклади одночленів: -3, 5а3, 6ах4, ах5.
Якщо одночлен містить тільки один числовий множник(коефіцієнт), до того ж записаний на першому місці, і якщо кожна змінна входить тільки до одного множника, такий одночлен називається одночленом стандартного вигляду. Наприклад, многочлен 3а•5с не є одночленом стандартного вигляду, бо містить два числових множники. Кожен одночлен можна подати в стандартному вигляді, наприклад,
3а•5с=15ас,
0,5ху•5у3=2,5ху4.
Щоб піднести до степеня одночлен, слід піднести до цього степеня кожний множник одночлена і знайдені степені перемножити. Наприклад,

Степенем одночлена стандартного вигляду називається сума показників степенів змінних. Наприклад, 16 – одночлен нульового степеня, 24х – одночлен першого степеня, 3х3у5 – одночлен восьмого степеня.
Подібними одночленами називаються одночлени, які відрізняються лише коефіцієнтом. Наприклад, 34ху, -4ху – подібні одночлени.
Звести подібні члени – означає додати їх числові коефіцієнти і результат помножити на спільний буквений вираз.
Суму кількох одночленів називають многочленом. Кожен доданок многочленна – його член. Наприклад, многочлен 3ху+2х+у - містить три члени 3ху, 2х і у. Многочлен, який містить два чи три доданки, називається відповідно двочленом, або тричленом. Одночлен є окремим видом многочленна.
Подібні члени многочлена – це такі доданки, які відрізняються лише коефіцієнтами, або зовсім не відрізняються.
Вважають, що многочлен записано в стандартному вигляді, якщо всі його члени – одночлени стандартного вигляду і серед них немає подібних. Наприклад, 2ах-3а•5х+8 не є многочленом стандартного вигляду.
Степенем многочлена стандартного вигляду називається найбільший степінь одночлена, яких входить в цей многочлен. Наприклад, 4х3у3 – многочлен шостого степеня.
Коренем многочлена називається таке значення змінної, при якому многочлен перетворюється в нуль.

Сума і різниця многочленів. Правило розкривання дужок. Зведення подібних членів (доданків)

Додавання чи віднімання многочленів зводиться до розкриття дужок і зведення подібних членів (доданків).
Правило розкривання дужок.
Якщо перед дужками є знак «+», то, розкриваючи дужки залишаємо знак кожного доданку суми, взятої в дужки. Якщо перед дужками є знак «-», то, розкриваючи дужки змінюємо знак кожного доданку на протилежний. Наприклад,
4р-(6х+3с-2)=4р-6х-3с+2; 2х+(3р-5)=2х+3р-5.
Зведення подібних членів (доданків). Щоб звести подібні доданки, достатньо додати їх числові коефіцієнти і отримане число помножити на спільний буквений вираз. Наприклад, 4х-6х-3х+2х=(4-6-3+2)х=-3х; (2х+3)-(3х-1)=+3-+1=5х+4.

Множення многочлена на одночлен

Щоб помножити многочлен на одночлен, потрібно кожний член многочлена помножити на даний одночлен. І результати додати.
Наприклад, 2х(3х+1)=6х2+2х.

Множення многочленів

Щоб помножити многочлен на многочлен, потрібно кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого многочлена і отримані добутки додати. Наприклад,
(а-2)(3а+4)=а•3а+4а-2•3а-2•4=3а2+4а-6а-8=3а2-2а-8.
При множенні многочленів потрібно пам'ятати правила знаків, а саме:
(+х)•(+у)=ху;
(-х)•(-у)=ху;
(-х)•(+у)=-ху;
(+х)•(-у)=-ху;

Формули скороченого множення. Трикутник Паскаля

1) х22=(х-у)(х+у);
2) (х+у)22+2ху+у2;
3) (х-у)22-2ху+у2;
4) (х+у)33+3х2у+3ху23;
5) (х-у)33-3х2у+3ху23;
6) х33=(х-у)(х2+ху+у2);
7) х33=(х+у)(х2-ху+у2);
8) (х+у+z)322+z2+2(ху+хz+уz);

Приклад1.
2(4х-1)(4х+1)=2((4х)2-12)=2(16х2-1)=2•16х2-2•1=32х2-2;

Приклад 2.
352-152=(35-15)(35+15)=20•50=1000;

Приклад 3.
Довести, що
602+8992=9012;
602=9012 - 8992;
602=(901-899)(901+899);
602=2•1800;
602=3600;
602=602;

Приклад 4.
(2х)2-(х-3)2=(2х+(х-3)) • (2х-(х-3))=(2х+х-3)(2х-х+3)=
=(3х-3)(х+3)=3(х-1)(х+3);

Приклад 5.
125у3-27х3=(5у)3-(3х)3=(5у-3х)(25у2+15ху+9х2);

Приклад 6.
(3х-2у)(9х2+6ху+4у2)=(3х-2у)((3х)2+3х•2у+(2у)2)=(3х)3-(2у)3=27х3-8у3;

Якщо потрібно піднести многочлен до степеня вищого ніж 3, використовують трикутник Паскаля, або арифметичний трикутник. Трикутник Паскаля – це трикутної форми таблиця з чисел, в якій вздовж бічних сторін записані одиниці, а кожне інше число обчислюється як сума двох найближчих до нього чисел попереднього рядка:

Приклад 1. (х+у)44+4х3у+6х2у2+4ху24.
Приклад 2. (х-у)44-4х3у+6х2у2-4ху24.

Виділення повного квадрата двочлена з квадратного тричлена

Перетворимо квадратний тричлен ах2+bх+с до вигляду а(х+m)2+n. Для цього виконаємо перетворення:

Приклад.
х2-4х+1=х2-2х•2+22-22+1=(х-2)2-4+1=(х-2)2-3.

Розкладання многочлена на множники

Розкласти многочлен на множники означає перетворити многочлен на добуток двох чи декількох многочленів. Є чотири способи розкладання многочлена на множники.
1 спосіб. Винесення спільного множника за дужки.
Приклад1.
ас+3с2=с(а+3с);
Приклад 2.
Довести, що 1617+1616 ділиться на 17.
1617+1616=1616(16+1)= 1616•17;
Приклад 3.
а(х-у)+с(х-у)=(х-у)(а+с).
2 спосіб. Спосіб групування. Полягає в тому, що об'єднують в групи ті члени, які мають спільні множники, а потім виносять за дужки спільний множник кожної групи. Якщо після такого перетворення виявиться спільний множник у всіх отриманих груп, то його виносять за дужки.
Приклад 4.
ах+3+3х+а=(ах+а)+(3+3х)=а(х+1)+3(х+1)=(а+3)(х+1);
Приклад5.
4ас+12с-4а-12=4ас-4а+12с-12=4а(с-1)+12(с-1)=(4а+12)(с-1)=4(а+3)(с-1);
Приклад6.
20,5•17+79,5•17+20,5•0,28+79,5•0,28=17(20,5+79,5)+0,28(20,5+79,5)=
=(17+0,28)(20,5+79,5)=17,28•100=1728;
3 спосіб. Застосування формул скороченого множення.
Приклад 7.
2+16= -(с2-16)=-(с-4)(с+4);
Приклад 8.
а22+2ас-4р2=(а+с)2-4р2=(а+с-2р) (а+с+2р);
Приклад 9.
х4-(2-х2)2=(х2-(2-х2)) (х2+(2-х2))=(х2-2+х2) (х2+2-х2)=2(2х2-2)=4(х2-1)=4(х-1)(х+1);
4 спосіб. Розкладання квадратного тричлена на множники, якщо відомо його корені. Якщо квадратний тричлен має дійсні корені х1 і х2, то його можна розкласти на лінійні множники таким чином: ах2+bх+с=а(х-х1)(х-х2).
Приклад 10.
х2-3х-4=(х+1)(х-4), оскільки х2-3х-4=0 х1=-1, х2=4.
Повернутись